Лемма Гейне — Бореля

Формулировка Пусть   — замкнутое ограниченное множество в пространстве  . Тогда из всякой системы открытых множеств, покрывающих множество  , можно выделить конечную подсистему, также покрывающую множество  .

Кратко говорят так: всякое открытое покрытие замкнутого ограниченного множества в пространстве   содержит конечное подпокрытие. При этом покрытие называется открытым, если оно состоит из открытых множеств.

Имеет место и обратное предложение: для того чтобы всякое открытое покрытие множества   содержало конечное подпокрытие необходимо, чтобы множество   было замкнутым и ограниченным. 

Первое доказательство Пусть отрезок   покрыт бесконечной системой   интервалов. Предположим, что никакое конечное число интервалов из   не покрывает данный отрезок. Разделим отрезок   пополам на два равных отрезка:   и  . По крайней мере один из них нельзя покрыть конечной подсистемой интервалов из  . Обозначим его   и повторим для него процедуру деления пополам.

Продолжая на каждом шаге делить отрезки пополам, мы получим последовательность вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю, такую что каждый отрезок этой последовательности не может быть покрыт конечным числом интервалов из  . Но если   — точка, в которую стягиваются отрезки, то, поскольку  лежит на отрезке  , она должна входить в некоторый интервал   системы  . Тогда все отрезки последовательности  , начиная с некоторого номера, будут покрыты интервалом  . Полученное противоречие доказывает справедливость леммы Гейне — Бореля.

Второе доказательство Пусть система интервалов   покрывает отрезок  . Обозначим через   множество всех точек  , для которых отрезок   может быть покрыт конечным числом интервалов из  . Ясно, что если всякий отрезок вида   может быть покрыт конечным числом интервалов из  , то же верно и для отрезка  : для этого возьмем интервал  , покрывающий точку  , и добавив его к конечному покрытию какого-нибудь отрезка  , где  , получим конечное покрытие отрезка  . Более того, полученная конечная подсистема интервалов покрывает не только отрезок  , но и некоторый отрезок вида  , где  .

Из первого следует, что точная верхняя грань множества   принадлежит множеству  . Из второго, что она должна быть равна  . Тем самым,  , то есть отрезок   может быть покрыт конечным числом интервалом из  .