5. Ограниченное снизу множество. Инфимум множества.

Пусть X – линейно упорядоченное множество с отношением >= и Y ⊆ X.

Элемент m ∈ X называется нижней границей множества Y , если y > m для любого y ∈ Y .

Элемент m ∈ X называется точной нижней гранью множества Y , если он является нижней границей этого множества и для любой другой нижней границы m0 выполнено неравенство m > m0. Точная нижняя грань обозначается inf Y или inf y∈Yy и по другому называется инфимумом множества Y .

либо:

Точной (наибольшей) нижней гранью (границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий) подмножества упорядоченного множества (или класса) , называется наибольший элемент , который равен или меньше всех элементов множества . Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается .

Примеры

1)На множестве всех рациональных чисел, больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум. такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум и он равен шести. Вообще говоря, у любого непустого подмножества множества натуральных чисел существует минимум^[1].

2)Для множества

; .

3)Множество положительных рациональных чисел не имеет точной верхней грани в , точная нижняя грань .

4)Множество рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в , но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то

и

6. Аксиома полноты. Пример неполных множеств.

Аксиома непрерывности (полноты). Каковы бы ни были непустые множества   и  , такие что для любых двух элементов   и   выполняется неравенство  , существует такое число  , что для всех   и   имеет место соотношение

Геометрически, если трактовать действительные числа как точки на прямой, данное утверждение представляется очевидным. Если два множества   и   таковы, что на числовой прямой все элементы одного из них лежат левее всех элементов второго, то найдется число  , разделяющее эти два множества, то есть лежащее правее всех элементов  (кроме, возможно, самого  ) и левее всех элементов   (та же оговорка).

Здесь следует отметить, что несмотря на «очевидность» данного свойства, для рациональных чисел оно не всегда выполняется. Для примера, рассмотрим два множества:

Легко видеть, что для любых элементов   и   выполняется неравенство  . Однако рационального числа  , разделяющего эти два множества, не существует. В самом деле, этим числом может быть только  , но оно не является рациональным.

Доказательство иррациональности

Применим доказательство от противного: допустим,   рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби  , где   и   — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

.

Отсюда следует, что   чётно, значит, чётно и  . Пусть  , где   целое. Тогда

Следовательно,   чётно, значит, чётно и  . Мы получили, что   и   чётны, что противоречит несократимости дроби  . Значит, исходное предположение было неверным, и   — иррациональное число.