logo
Математический анализ 1

40. Теорема Ролля.

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

в точке х0, если f(x)-yкас<0 в О(х0)

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) вниз в

точке х0, если f(x)-yкас>0 в О(х0)

О пределение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

(вниз) на интервале (a,b), если она выпукла в верх (вниз)

в каждой точке этого интервала.

Определение: (точки перегиба) Пусть функция f(x) диф-

ференцируема в О(х0) и непрерывна в О(х0). Точка х0

называется точкой перегиба графика f(x), если при пере-

ходе через точку меняется знак выпуклости.

Теорема: (о достаточном условии выпуклости функции).

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х0 и f’’(x0)<0 (f’’(x0)>0), тогда f(x) – выпукла вверх (вниз) в тоске х0.

Доказательство: Напишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме пеано:

Если х близко к х0, то знак квадрата скобки определяется знаком f(x0). Если f’’(x0)<0, то f(x)-yкас>0 в О(х0).

Если f’’(x0)>0, то f(x)-yкас>0 в О(х0)