Примеры
Рациональные числа
Вещественные числа
Вещественные алгебраические числа
Поле вещественных рациональных функций: , где — многочлены, . Упорядочим его следующим образом.
Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) упорядочены традиционным образом.
Пусть , Будем считать, что дробь , если .
Из определения вытекает, что многочлен больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово.
Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.
3. Неравенство треугольника, абсолютное значение действительных чисел.
Если а, в € R, то |a+в|≤|а|+|в|
а, в ≥0 » а+в≥0
|a+в|=а+в=|а|+|в|
а, в≤0 » а+в≤0
|a+в|=-(а+в)=-а+(-в)= |а|+|в|
а≤0, в≥0 » а+в= -|а|+|в|
|a+в|=|-|а|+|в|| ≤ |а|+|в|
а≥0, в≤0
|a+в|=|а|-|в|
|a+в|=||а|-|в||≤ |а|+|в|
Следствие: если а, в € R, тогда |а|-|в|≥||а|-|в||
|а|+|в|≥||а|-|в||
Абсолютное значение или модуль действительного числа a (обозначается как |a|) определяется как
Пример |5|=5 Так как 5>0 |-4/7|= -(-4/7) = 4/7 Так как -4/7<0 |0|=0 Так как 0≥0
Замечание |a| есть не отрицательным числом для всех значений a и -|a|≤ a ≤ |a|
4. Ограниченное сверху множество. Супремум множества.
1) Точной (наименьшей) верхней гранью (границей), или супре́мумом подмножества упорядоченного множества (или класса) , называется наименьший элемент , который равен или больше всех элементов множества . Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается .
Более формально: — множество верхних граней , то есть элементов , равных или больших всех элементов
Либо
2) Пусть X – линейно упорядоченное множество с отношением >= и Y ⊆ X.
Элемент m ∈ X называется верхней границей множества Y , если m > y для любого y ∈ Y . Элемент m ∈ X называется точной верхней гранью множества Y , если он является верхней границей этого множества и для любой другой верхней границы m0 выполнено неравенство m0> m. Точная верхняя грань обозначается supY или sup y∈Yy и по другому называется супремумом множества Y .
Примеры
Для множества
; .
Множество положительных рациональных чисел не имеет точной верхней грани в , точная нижняя грань .
Множество рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в , но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то и
- Примеры
- 5. Ограниченное снизу множество. Инфимум множества.
- 7. Свойство Архимеда. Плотное множество.
- Неархимедово упорядоченное поле
- 8. Единственность поля действительных чисел. Расширенное множество действительных чисел.
- 10. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- 12. Окрестность точки. Внутренняя точка. Открытое и замкнутое множества.
- 13. Проколотая окрестность точки. Открытый и замкнутый интервалы.
- 15. Открытое покрытие. Теорема Гейн-Бореля.
- Лемма Гейне — Бореля
- 16. Понятие функций. Область определения. Область значения.
- 17. Кольцо функций. Деление двух функций.
- Примеры
- Алгоритм Евклида
- Свойства евклидовых колец
- Свойства модулей над евклидовым кольцом
- 20. Односторонние пределы функций.
- 21. Пределы функций в бесконечности. Бесконечный предел.
- 22. Монотонная функция.
- Условия монотонности функции
- 2) В. П. (н. П.) функции f(X) в точке x0 предел верхних (нижних) граней множеств значений функции f(X) в окрестности точки х0, когда эти окрестности стягиваются к точке х0. Он обозначается
- Непрерывность функции в точке
- Определение 25 (точки разрыва). A - точка разрыва f, если
- 28. Композиция двух функции и её непрерывность.
- 29. Ограниченная функция. Ограниченность непрерывных функции в замкнутом интервале.
- Определение
- 37. Дифференцирование сложной функции.
- 38. Односторонние производные функции.
- 39. Экстремумы и точки перегиба функции.
- Экстремумы
- В ыпуклость и вогнутость.
- 40. Теорема Ролля.
- Теорема (Ролля):
- 41. Теорема о промежуточном значении для производной.
- Отношение бесконечно больших
- 43. Полином Тейлора. Остаточный член.
- 44. Теорема Тейлора.
- 45. Расширенная теорема о главном значении.