Непрерывность функции в точке

Пусть f:E® R, a -точка области определения.

Определение 21 (непрерывность функции в точке). Функция  f(x) называется непрерывной в точке a, если

" U(f(a)) $ U(a) (f(U(a))М U(f(a))).

Дадим определение непрерывной функции в точке на "языке e–d " (ср. с определением предела по Коши.)

Определение 22 (непрерывность функции по Коши). Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если " e > 0 $ d(e)>0: " x удовлетворяющих условию |x-a|< d, выполнено неравенство |f(x)-f(a)|< e

Замечание. Если a – изолированная точка множества E, то есть точка, что в некоторой окрестности этой точки нет других точек множества E, кроме точки a, то U(a) = a. Следовательно, f(U(a)) = f(a)М U(f(a)), " U(f(a)). Таким образом, в любой изолированной точке функция непрерывна. Поэтому содержательная часть понятия непрерывности относится к случаю, когда a- предельная точка множества E.

Из определения непрерывной функции следует, что

f:E® R непрерывна в aО E, где a- предельная точка EЫ Ы lim_x® af(x) = f(a)

Последнее равенство можно переписать в следующей форме

lim_x® af(x) = f(lim_x® ax),

которое говорит о том, что непрерывные в точке функции перестановочны с операцией предельного перехода.