22. Монотонная функция.

Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Определения

Пусть дана функция   Тогда

• функция   называется возраста́ющей на  , если

.

• функция   называется стро́го возраста́ющей на  , если

.

• функция   называется убыва́ющей на  , если

.

• функция   называется стро́го убыва́ющей на  , если

.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Свойства монотонных функций

• Монотонная функция, определённая на интервале, измерима относительно борелевских сигма-алгебр.

• Монотонная функция,   определённая на замкнутом интервале, ограничена. В частности, она интегрируема по Лебегу.

• Монотонная функция может иметь разрывы только первого рода. В частности, множество точек разрыва не более чем счётно.

• Монотонная функция   дифференцируема почти всюду относительно меры Лебега.