logo
Математический анализ 1

Отношение бесконечно больших

Докажем теорему для неопределённостей вида  .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен  . Тогда, при стремлении   к   справа, это отношение можно записать как  , где   —O(1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем   из отрезка   и применим теорему Коши ко всем   из отрезка  :

, что можно привести к следующему виду:

.

Для  , достаточно близких к  , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как   и   — константы, а   и   стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен  , где   — бесконечно малая функция при стремлении   к   справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение  , что и в определении для  :

.

Получили, что отношение функций представимо в виде  , и  . По любому данному   можно найти такое  , чтобы модуль разности отношения функций и   был меньше  , значит, предел отношения функций действительно равен  .

Если же предел   бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении   будем брать  ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при  , достаточно близких к  , а тогда  .

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

Примеры