37. Дифференцирование сложной функции.

Одномерный случай

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой,   где   и   Пусть также эти функции дифференцируемы:   Тогда их композиция также дифференцируема:   и её производная имеет вид:

Инвариантность формы первого дифференциала

Дифференциал функции   в точке   имеет вид:

где   — дифференциал тождественного отображения  :

Пусть теперь   Тогда  , и согласно цепному правилу:

Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.

Пример

Пусть   Тогда функция   может быть записана в виде композиции   где

Дифференцируя эти функции отдельно:

получаем

Многомерный случай

Пусть даны функции   где   и   Пусть также эти функции дифференцируемы:   и   Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

В частности, матрица Якоби функции   является произведением матриц Якоби функций   и 

Следствия

• Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:

Для частных производных сложной функции справедливо

Формула Фаа-ди-Бруно

Формула имеет следующий комбинаторный вид:

где

• π принимает значения из множества Π всех разбиений множества { 1, …, n },

• "B ∈ π" означает, что переменная B пробегает части разбиения π, и

• |A| обозначает мощность множества A (таким образом, |π| — это количество блоков в разбиении π, |B| — размер блока B).