logo
Математический анализ 1

7. Свойство Архимеда. Плотное множество.

Линейно упорядоченная группа

Пусть   — линейно упорядоченная группа (англ.),   и   — положительные элементы  . Элемент   называется бесконечно малым по отношению к элементу  (а   — бесконечно большим по отношению к  ), если для любого натурального   имеет место неравенство

Группа   называется архимедовой, если для неё выполнена аксиома Архимеда: в   не существует пары элементов  , таких что   — бесконечно мал по отношению к  .

Упорядоченное поле

Пусть   — упорядоченное поле. Поскольку всякое упорядоченное поле является линейно упорядоченной группой, то все вышеприведенные определения бесконечно малого и бесконечно большого элементов, а также формулировка аксиомы Архимеда сохраняют силу. Однако здесь имеется ряд специфических особенностей, благодаря которым формулировка аксиомы Архимеда упрощается.

Пусть   — положительные элементы  .

Бесконечно малые и бесконечно большие элементы объединяются под названием инфинитезимальных элементов.

формулировка аксиомы Архимеда:

Для всякого элемента   поля   существует натуральный элемент  , такой что 

Или, эквивалентная формулировка,

Для всякого положительного элемента поля   существует натуральный элемент  , такой что 

Примеры и контрпримеры

Множество действительных чисел

Наиболее известный пример архимедова поля — это множество действительных чисел. Если рассматривать множество действительных чисел как пополнениесовокупности рациональных (например, с помощью дедекиндовых сечений), то свойство Архимеда для действительных чисел вытекает из того, что им обладают рациональные числа. В связи с этим следует отметить, что в одной из систем аксиом действительных чисел, которая была предложена Гильбертом[4], совокупность действительных чисел определяется как максимальное архимедово упорядоченное поле, то есть упорядоченное поле, удовлетворяющее аксиоме Архимеда (то есть не содержащее инфинитезимальных элементов), которое нельзя расширить до большего архимедова упорядоченного поля.