7. Свойство Архимеда. Плотное множество.
Линейно упорядоченная группа
Пусть — линейно упорядоченная группа (англ.), и — положительные элементы . Элемент называется бесконечно малым по отношению к элементу (а — бесконечно большим по отношению к ), если для любого натурального имеет место неравенство
Группа называется архимедовой, если для неё выполнена аксиома Архимеда: в не существует пары элементов , , таких что — бесконечно мал по отношению к .
Упорядоченное поле
Пусть — упорядоченное поле. Поскольку всякое упорядоченное поле является линейно упорядоченной группой, то все вышеприведенные определения бесконечно малого и бесконечно большого элементов, а также формулировка аксиомы Архимеда сохраняют силу. Однако здесь имеется ряд специфических особенностей, благодаря которым формулировка аксиомы Архимеда упрощается.
Пусть — положительные элементы .
элемент бесконечно мал по отношению к элементу , тогда и только тогда, когда бесконечно мал по отношению к (такие элементы называются просто, бесконечно малыми)
элемент бесконечно большой по отношению к элементу , тогда и только тогда, когда бесконечно большой по отношению к (такие элементы называются просто, бесконечно большими)
Бесконечно малые и бесконечно большие элементы объединяются под названием инфинитезимальных элементов.
формулировка аксиомы Архимеда:
Для всякого элемента поля существует натуральный элемент , такой что
Или, эквивалентная формулировка,
Для всякого положительного элемента поля существует натуральный элемент , такой что
Примеры и контрпримеры
Множество действительных чисел
Наиболее известный пример архимедова поля — это множество действительных чисел. Если рассматривать множество действительных чисел как пополнениесовокупности рациональных (например, с помощью дедекиндовых сечений), то свойство Архимеда для действительных чисел вытекает из того, что им обладают рациональные числа. В связи с этим следует отметить, что в одной из систем аксиом действительных чисел, которая была предложена Гильбертом[4], совокупность действительных чисел определяется как максимальное архимедово упорядоченное поле, то есть упорядоченное поле, удовлетворяющее аксиоме Архимеда (то есть не содержащее инфинитезимальных элементов), которое нельзя расширить до большего архимедова упорядоченного поля.
- Примеры
- 5. Ограниченное снизу множество. Инфимум множества.
- 7. Свойство Архимеда. Плотное множество.
- Неархимедово упорядоченное поле
- 8. Единственность поля действительных чисел. Расширенное множество действительных чисел.
- 10. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- 12. Окрестность точки. Внутренняя точка. Открытое и замкнутое множества.
- 13. Проколотая окрестность точки. Открытый и замкнутый интервалы.
- 15. Открытое покрытие. Теорема Гейн-Бореля.
- Лемма Гейне — Бореля
- 16. Понятие функций. Область определения. Область значения.
- 17. Кольцо функций. Деление двух функций.
- Примеры
- Алгоритм Евклида
- Свойства евклидовых колец
- Свойства модулей над евклидовым кольцом
- 20. Односторонние пределы функций.
- 21. Пределы функций в бесконечности. Бесконечный предел.
- 22. Монотонная функция.
- Условия монотонности функции
- 2) В. П. (н. П.) функции f(X) в точке x0 предел верхних (нижних) граней множеств значений функции f(X) в окрестности точки х0, когда эти окрестности стягиваются к точке х0. Он обозначается
- Непрерывность функции в точке
- Определение 25 (точки разрыва). A - точка разрыва f, если
- 28. Композиция двух функции и её непрерывность.
- 29. Ограниченная функция. Ограниченность непрерывных функции в замкнутом интервале.
- Определение
- 37. Дифференцирование сложной функции.
- 38. Односторонние производные функции.
- 39. Экстремумы и точки перегиба функции.
- Экстремумы
- В ыпуклость и вогнутость.
- 40. Теорема Ролля.
- Теорема (Ролля):
- 41. Теорема о промежуточном значении для производной.
- Отношение бесконечно больших
- 43. Полином Тейлора. Остаточный член.
- 44. Теорема Тейлора.
- 45. Расширенная теорема о главном значении.