logo
Математический анализ 1

43. Полином Тейлора. Остаточный член.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Определение

Пусть функция   бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки  . Формальный ряд

называется рядом Тейлора функции   в точке  .

Свойства

У этой функции все производные в нуле равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке   равны нулю.

Формула Тейлора

Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.

Теорема:

тогда:   точка   при   или   при  :

Это формула Тейлора с остаточным членом в общей форме (форма Шлёмильха — Роша).

Различные формы остаточного члена

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

В интегральной форме:

Ослабим предположения:

 — остаточный член в асимптотической форме (в форме Пеано, в локальной форме)

Формула Тейлора для функции двух переменных

Пусть функция   имеет полные производные вплоть до  -го порядка включительно в некоторой окрестности точки  . Введём дифференциальный оператор

.

Тогда разложением в ряд Тейлора функции   по степеням   и   в окрестности точки   будет

где   — остаточный член в форме Лагранжа:

В случае функции одной переменной  , поскольку для функции одной переменной частная производная тождественно равна полной. Аналогично формула распространяется на функции от любого числа переменных, меняется только число слагаемых в операторе  .