Неархимедово упорядоченное поле
В качестве примера (вернее, контрпримера) упорядоченного поля, для которого не выполнена аксиома Архимеда, рассмотрим совокупность рациональных функций с действительными коэффициентами, то есть функций вида
Относительно обычных операций сложения и умножения эта совокупность образует поле. Введем отношение порядка на совокупности рациональных функций следующим образом. Пусть и — две рациональные функции. Мы скажем, что , если и только если в некоторой окрестности разность имеет строго положительный знак. Это условие можно сформулировать и в терминах коэффициентов рациональных функций и . Запишем разность в виде многочлен + правильная рациональная дробь:
где второе слагаемое в правой части — правильная рациональная дробь, то есть степень числителя меньше степени знаменателя: . Будем также считать что старший коэффициент знаменателя равен . Тогда тогда и только тогда, когда либо , либо полиноминальная часть отсутствует и . Несложно проверить корректность этого определения порядка (следует проверить как то, что введенное отношение действительно является отношением порядка, и что это отношение согласовано с операциями поля).
Таким образом, совокупность рациональных функций образует упорядоченное поле. Заметим, что оно является расширением поля действительных чисел, но аксиома Архимеда здесь не имеет места (см. конец предыдущего раздела!). Действительно, рассмотрим элементы и . Очевидно, каким бы ни было натуральное число , имеет место неравенство:
Другими словами, — бесконечно большой элемент поля. Тем самым аксиома Архимеда в этом поле не имеет места.
Пло́тное мно́жество — подмножество пространства, точками которого можно сколь угодно хорошо приблизить любую точку объемлющего пространства.
Определения
Пусть даны топологическое пространство и два подмножества Тогда множество называется плотным в множестве , если любаяокрестность любой точки содержит хотя бы одну точку из , то есть
Множество называется всюду плотным, если оно плотно в
- Примеры
- 5. Ограниченное снизу множество. Инфимум множества.
- 7. Свойство Архимеда. Плотное множество.
- Неархимедово упорядоченное поле
- 8. Единственность поля действительных чисел. Расширенное множество действительных чисел.
- 10. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- 12. Окрестность точки. Внутренняя точка. Открытое и замкнутое множества.
- 13. Проколотая окрестность точки. Открытый и замкнутый интервалы.
- 15. Открытое покрытие. Теорема Гейн-Бореля.
- Лемма Гейне — Бореля
- 16. Понятие функций. Область определения. Область значения.
- 17. Кольцо функций. Деление двух функций.
- Примеры
- Алгоритм Евклида
- Свойства евклидовых колец
- Свойства модулей над евклидовым кольцом
- 20. Односторонние пределы функций.
- 21. Пределы функций в бесконечности. Бесконечный предел.
- 22. Монотонная функция.
- Условия монотонности функции
- 2) В. П. (н. П.) функции f(X) в точке x0 предел верхних (нижних) граней множеств значений функции f(X) в окрестности точки х0, когда эти окрестности стягиваются к точке х0. Он обозначается
- Непрерывность функции в точке
- Определение 25 (точки разрыва). A - точка разрыва f, если
- 28. Композиция двух функции и её непрерывность.
- 29. Ограниченная функция. Ограниченность непрерывных функции в замкнутом интервале.
- Определение
- 37. Дифференцирование сложной функции.
- 38. Односторонние производные функции.
- 39. Экстремумы и точки перегиба функции.
- Экстремумы
- В ыпуклость и вогнутость.
- 40. Теорема Ролля.
- Теорема (Ролля):
- 41. Теорема о промежуточном значении для производной.
- Отношение бесконечно больших
- 43. Полином Тейлора. Остаточный член.
- 44. Теорема Тейлора.
- 45. Расширенная теорема о главном значении.