Условия монотонности функции

• (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция   непрерывна на   и имеет в каждой точке   производную   Тогда

 возрастает на   тогда и только тогда, когда 

 убывает на   тогда и только тогда, когда 

• (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция   непрерывна на   и имеет в каждой точке   производную   Тогда

если   то   строго возрастает на 

если   то   строго убывает на 

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале   Точнее имеет место

• (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть   и всюду на интервале определена производная   Тогда   строго возрастает на интервале   тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Аналогично,   строго убывает на интервале   тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1) 2)

23. Верхний и нижний пределы функций.

ВЕРХНИЙ И НИЖНИЙ ПРЕДЕЛЫ - 1) В. и н. п. последовательности - наибольший, и соответственно, наименьший, предел среди всех частичных пределов (конечных и бесконечных) данной последовательности действительных чисел. Для любой последовательности действительных чисел х_n, n = 1, 2, ..., множество всех ее частичных пределов (конечных и бесконечных) на расширенной числовой прямой (т. е. в множестве действительных чисел, пополненном символами - ∞ и +∞) не пусто и имеет как наибольший, так и наименьший элементы (конечный или бесконечный). Наибольший элемент множества частичных пределов наз. верхним пределом (в. п.) последовательности и обозначается

наименьший элемент - нижним пределом (н. п.) и обозначается

Напр., если

х_n = (-1)ⁿ,

то

если

х_n = (-1)ⁿn,

то

если

х_n = n + (-1)ⁿn,

то

У всякой последовательности существует в. п. (н. п.), при этом, если последовательность ограничена сверху (снизу), то ее в. п. (н. п.) конечен. Для того чтобы число а было в. п. (соответственно н. п.) последовательности х_n, n = 1, 2, ..., необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 выполнялись условия: а) существует такой номер n_ε, что для всех номеров n ≥ n_ε справедливо неравенство х_n < а + ε (х_n > а - ε); б) для любого номера n₀ существует такой номер n' = n'(ε, n₀), что n' > n₀ и х_n' > а - ε (х_n' < а + ε). Условие а) означает существование при любом фиксированном ε > 0 в последовательности {х_n} лишь конечного числа таких членов х_n, что х_n > а + ε(х_n < а - ε). Условие б) означает существование бесконечного множества таких членов х_n, что х_n > а - ε(х_n < а + ε). Понятие н. п. сводится к понятию в. п. с помощью изменения знака у членов последовательности:

Для того чтобы последовательность х_n, n = 1, 2, ..., имела предел (конечный или бесконечный, равный одному из символов - ∞ или +∞), необходимо и достаточно, чтобы