Экстремумы
М ожно указать О(х1) в которой все значения функции
f(x)<f(x1) b и О1(х1) анологично для точки х2
f(x)>f(x1) b и О2(х1). Значенгие функции в точке М1, М3 и М5 –
max; M2 и М4 – min – такие точки назавыются точкками
экстремума или точками локального max и min.
Определение: (точки экстремума)
Пусть функия f(x) определена в некоторой О(х0) и f(x)>f(x0) в
О(х0) или f(x)<f(x0) в этом случае точка х0 – называется точкой локального max (min).
З амечание:
f(x)f(x1) в О1(х1)
f(x)f(x2) в О2(х2)
говорят, что точки х1 и х2 точки не строгого локального
экстремума.
Теорема: (Ферма) (о необходимости условия экстремума дифференцируемой функции)
Пусть y=f(x) дифференцируема в точки х0 и точка х0 – точка экстремума, тогда f(x0)=0
Доказательсто: Заметим, что х0 точка экстремума, то в её окрестности f(x) – f(x0) сохраняет знак. Запишем условие ∆f(x0)=f(x)-f(x0)(x-x0)+o(x-x0)
f(x)-f(x0)=(x-x0)[f(x0)+(x-x0)] то при х – достаточно близких к х0 знак выражения стоящего в квадратных скобках совпадает со знаком f’(x0)0 (x-x0) – меняет знак при переходе черех точку х0 f’(x0)=0
- Примеры
- 5. Ограниченное снизу множество. Инфимум множества.
- 7. Свойство Архимеда. Плотное множество.
- Неархимедово упорядоченное поле
- 8. Единственность поля действительных чисел. Расширенное множество действительных чисел.
- 10. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- 12. Окрестность точки. Внутренняя точка. Открытое и замкнутое множества.
- 13. Проколотая окрестность точки. Открытый и замкнутый интервалы.
- 15. Открытое покрытие. Теорема Гейн-Бореля.
- Лемма Гейне — Бореля
- 16. Понятие функций. Область определения. Область значения.
- 17. Кольцо функций. Деление двух функций.
- Примеры
- Алгоритм Евклида
- Свойства евклидовых колец
- Свойства модулей над евклидовым кольцом
- 20. Односторонние пределы функций.
- 21. Пределы функций в бесконечности. Бесконечный предел.
- 22. Монотонная функция.
- Условия монотонности функции
- 2) В. П. (н. П.) функции f(X) в точке x0 предел верхних (нижних) граней множеств значений функции f(X) в окрестности точки х0, когда эти окрестности стягиваются к точке х0. Он обозначается
- Непрерывность функции в точке
- Определение 25 (точки разрыва). A - точка разрыва f, если
- 28. Композиция двух функции и её непрерывность.
- 29. Ограниченная функция. Ограниченность непрерывных функции в замкнутом интервале.
- Определение
- 37. Дифференцирование сложной функции.
- 38. Односторонние производные функции.
- 39. Экстремумы и точки перегиба функции.
- Экстремумы
- В ыпуклость и вогнутость.
- 40. Теорема Ролля.
- Теорема (Ролля):
- 41. Теорема о промежуточном значении для производной.
- Отношение бесконечно больших
- 43. Полином Тейлора. Остаточный член.
- 44. Теорема Тейлора.
- 45. Расширенная теорема о главном значении.