7.Теорема Менелая

Теорема Менелая. Пусть прямая пересекает треугольник ABC, причем C₁ – точка ее пересечения со стороной AB, A₁ – точка ее пересечения со стороной BC, и B₁ – точка ее пересечения с продолжением стороны AC. Тогда

Доказательство. Проведем через точку C прямую, параллельную AB. Обозначим через K ее точку пересечения с прямой B₁C₁.

Треугольники AC₁B₁ и CKB₁ подобны (∟C₁AB₁= ∟KCB₁, ∟AC₁B₁= ∟CKB₁). Следовательно,

Треугольники BC₁A₁ и CKA₁ также подобны (∟BA₁C₁= ∟KA₁C, ∟BC₁A₁= ∟CKA₁). Значит,

Из каждого равенства выразим CK:

Откуда что и требовалось доказать.

Теорема (обратная теорема Менелая). Пусть дан треугольник ABC. Пусть точка C₁ лежит на стороне AB, точка A₁ – на стороне BC, а точка B₁ – на продолжении стороны AC, причем выполняется соотношение

Тогда точки A₁,B₁ и C₁ лежат на одной прямой.