18. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники
Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным.
Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180°.
Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).
Площадь S вписанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d можно вычислить по формулам:
,где p – полупериметр, R – радиус окружности.
Если a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, – его полупериметр, а α – сумма его противоположных углов, то площадь S четырёхугольника равна
.
В качестве α здесь можно взять сумму любой из двух пар противоположных углов, результат от этого не зависит. В случае четырёхугольника, вписанного в окружность, эта формула принимает более простой вид:
;это равенство и называется формулой Брахмагупты. Если четырёхугольник имеет и описанную и вписанную окружности, то формула становится совсем короткой: .
Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 1800 (свойство вписанных четырехугольников).
1 Действительно, пусть четырехугольник АВСД вписан в окружность (рис.3.61).Тогда сумма его углов А и С измеряется полусуммой дуг ВСП и ВЛП, составляющих полную окружность, а потому равна 180°. И Рассмотрим первый случай. Продолжим тогда сторону ВА за точку А до пересечения с окружностью Р в точке М и проведем хорду МБ (рис.3.63).Четырехугольник ВСБМ вписан в окружность Р. Как доказано, АС+ АМ= 180о. Но АА >АМ (как внешний угол треугольника БМА), а значит АА+АС>180о. Получили противоречие. Следовательно, точка А не может лежать внутри круга, ограниченного окружностью Р.
Тэарэма (аб акружнасці, апісанай каля правільнага многавугольніка). Каля любога правільнага многавугольніка можна апісаць акружнасць, і прытым толькі адну. Дадзена: А 1 А 2А3 ••• Аn —правільны многавугольнік. Даказаць: існуе пункт, роўнааддалены ад усіх вяршынь. Ён адзіны. Доказ. 1. Дакажам існаван- не. Няхай О — пункт перасячэння бісектрыс вуглоў Аг іА2 (рыс. 61). Злучым пункт О адрэзкамі з астатнімі вяршынямі многаву- гольніка і дакажам, што ОА1 = ОА2 = ... = ОАп. 1) Паколькі А1 =А2 то 1 = =3, значыць, трохвугольнік А1А20 раўнабедраны і ОАг = ОА2. 2) Трохвугольнікі А1А20 і А3А2О роўныя па дзвюх стара- нах і вуглу паміж імі (А1А2 = АзА2, А2О — агульная старана і 3 = 4), значыць, ОА3 = ОАг.
3)Аналагічна можна даказаць, што ОА4 = ОА2, ОА5 = ОА3 і г.д. 4) Такім чынам, ОА1 = ОА2 = ... = ОАт, значыць, пункт О роўнааддалены ад усіх вяршынь многавугольніка. Таму акружнасць со (О, ОА1) з'яўляецца апісанай каля многаву- гольніка.
2. Дакажам адзінкавасць. Для гэтага разгледзім якія-не- будзь тры вяршыні многавугольніка, напрыклад, А1 А2, А3. Паколькі праз гэтыя пункты праходзіць толькі адна акруж- насць, то і каля многавугольніка А1, А2, ... Аn можна апісаць толькі адну акружнасць.
- 1. Рациональные уравнения и методы их решения
- Методы их решения
- Функциональные методы
- 2. Рациональные неравенства и методы их решения
- Алгебраические неравенства.
- 3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
- Основные свойства модуля:
- I тип уравнений
- II тип уравнений
- III тип уравнений
- 4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
- 1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.
- 5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- Преобразования, приводящие к равносильному уравнению
- 6. Неравенства. Равносильные неравенства. Неравенства-следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств
- 7. Системы и совокупности уравнений. Основные методы решения систем уравнений
- Совокупности уравнений
- 8. Системы и совокупности неравенств
- Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
- 9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
- 10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
- 11. Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений
- 12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
- 13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
- 14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
- 15. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- 2. Способ замены.
- 3. Разложение на множители.
- 4. Однородные тригонометрические уравнения вида
- 5. Универсальная замена.
- 16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
- 17. Решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции
- 18. Метод интервалов при решении тригонометрических неравенств
- 19. Графики функций и уравнений. Основные преобразования графиков функций
- 1) Область определения функции и область значений функции.
- 3) Пересечение с осями коорд.
- 6) Точки экстремума
- 7) Периодическость функции.
- 21. Основные тригонометрические функции и их св-ва
- 22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства
- 24. Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
- 25. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
- 26. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства
- 27. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств
- Основные соотношения между элементами треугольника
- 2. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника
- 3.Медиана треугольника. Теоремы связанные с медианами треугольника. Формулы для нахождения медиан
- 4.Биссектриса треугольника. Теоремы связанные с биссектрисами треугольника. Формулы для нахождения биссектрис
- 5. Метод площадей.
- 6.Теорема Чевы
- 7.Теорема Менелая
- 8. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.
- 9.Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд
- Свойства хорд
- 10. Свойства секущих и касательных к окружности.
- 11. Измерение углов, связанных с окружностью
- 12. Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности
- 13. Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности
- 14. Прямая Эйлера
- 15. Окружность Эйлера
- 16. Вневписанная окружность.
- 17. Основные виды четырехугольников, их св-ва и признаки
- 18. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники
- 19. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
- 20. Теорема Пифагора для четырехугольников.
- 21. Теорема Птолемея.
- 1.Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур. Требования к проекционным чертежам.
- 2. Свойства параллельного проектирования. Изображение многоугольников и тел вращения. Теорема Польке-Шварца.
- 3.Методы построения сечений многогранников.
- 5.Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.Использование параллельности для построения сечений многогранников.