19. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
Четырехугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около окружности, а окружность - вписанной в этот ч етырехугольник
Теорема 3. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны. Для доказательства этой теоремы воспользуемся теоремой из темы круг и окружность, которая гласит: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, т.е. ВК=ВР, СР=СН, DH=DT и АТ=АК. Суммируем стороны АВ и CD: AB+CD=(AK+KB)+(DH+HC)=AT+BP+DT+CP=(AT+TD)+(BP+PC)=AD+BC, ч.т.д.
В паралелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
Если трапеция описана около окружности, то концы боковой стороны и центр окружности являются вершинами прямоугольного треугольника
Т э а р э м а (аб акружнасці, упісанай у правільны многа- вугольнік). У любы правільны многавугольнік можна ўпі- саць акружнасць, і прытым толькі адну.
Дадзена: А1А2А3…Ап — правільны многавугольнік.
Даказадь: існуе пункт, роўнааддалены ад прамых, якія змяшчаюць стораны многавугольніка. Ён адзіны.
Доказ. 1. Дакажам існаванне. Няхай О — цэнтр акружнасці (рыс.
У ходзе доказу папярэдняй тэарэмы мы вызначылі, што
таму вышыні гэтых трохвугольнікаў, праведзеныя з вяршыні О, таксама роўныя: ОН1 = ОН2 = ... = ОНп.
2) Адсюль вынікае, што акруж- насць з цэнтрам О і радыусам ОН1 праходзіць праз пункты Н1,
Н2 , ... Нn і датыкаецца да старон многавугольніка ў гэтых пудктах, значыць, акружнасць упісана ў разглядваемы мно- гавугольнік.
2. Дакажам адзінкавасць. Дапусцім, што побач з акруж- насцю ω (О, ОН1) ёсць і другая акружнасць, упісаная ў мно- гавугольнік А1А2... Аn. Тады яе цэнтр О1 роўнааддалены ад старон многавугольніка, г. зн.пункт О1 ляжыць на кожнай з бісектрыс вуглоў многавугольніка і, такім чынам, супадае з пунктам О перасячэння гэтых бісектрыс. Радыус гэтай акружнасці роўны адлегласці ад пункта О да старон многа- вугольніка, г. зн. роўны ОН1. Такім чынам, другая акруж- насць супадае з першай.
Вынік 1. Акружнасць, упісаная ў правільны многавугольнік, датыкаецца да старон многавугольніка ў іх сярэдзінах.
Вынік 2. Цэнтр акружнасці, апісанай каля правільнага многавугольніка, супадае з цэнтрам акружнасці, утіісанай у той жа многавугольнік.
Гэты пункт называюць цэнтрам правільнага многавугольніка.
- 1. Рациональные уравнения и методы их решения
- Методы их решения
- Функциональные методы
- 2. Рациональные неравенства и методы их решения
- Алгебраические неравенства.
- 3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
- Основные свойства модуля:
- I тип уравнений
- II тип уравнений
- III тип уравнений
- 4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
- 1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.
- 5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- Преобразования, приводящие к равносильному уравнению
- 6. Неравенства. Равносильные неравенства. Неравенства-следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств
- 7. Системы и совокупности уравнений. Основные методы решения систем уравнений
- Совокупности уравнений
- 8. Системы и совокупности неравенств
- Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
- 9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
- 10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
- 11. Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений
- 12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
- 13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
- 14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
- 15. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- 2. Способ замены.
- 3. Разложение на множители.
- 4. Однородные тригонометрические уравнения вида
- 5. Универсальная замена.
- 16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
- 17. Решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции
- 18. Метод интервалов при решении тригонометрических неравенств
- 19. Графики функций и уравнений. Основные преобразования графиков функций
- 1) Область определения функции и область значений функции.
- 3) Пересечение с осями коорд.
- 6) Точки экстремума
- 7) Периодическость функции.
- 21. Основные тригонометрические функции и их св-ва
- 22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства
- 24. Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
- 25. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
- 26. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства
- 27. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств
- Основные соотношения между элементами треугольника
- 2. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника
- 3.Медиана треугольника. Теоремы связанные с медианами треугольника. Формулы для нахождения медиан
- 4.Биссектриса треугольника. Теоремы связанные с биссектрисами треугольника. Формулы для нахождения биссектрис
- 5. Метод площадей.
- 6.Теорема Чевы
- 7.Теорема Менелая
- 8. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.
- 9.Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд
- Свойства хорд
- 10. Свойства секущих и касательных к окружности.
- 11. Измерение углов, связанных с окружностью
- 12. Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности
- 13. Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности
- 14. Прямая Эйлера
- 15. Окружность Эйлера
- 16. Вневписанная окружность.
- 17. Основные виды четырехугольников, их св-ва и признаки
- 18. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники
- 19. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
- 20. Теорема Пифагора для четырехугольников.
- 21. Теорема Птолемея.
- 1.Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур. Требования к проекционным чертежам.
- 2. Свойства параллельного проектирования. Изображение многоугольников и тел вращения. Теорема Польке-Шварца.
- 3.Методы построения сечений многогранников.
- 5.Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.Использование параллельности для построения сечений многогранников.