logo
PRZ_-_shpory

8. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.

Т. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА. Пусть Т— прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 6, а). Докажем, что с2=а2+b2.

Построим квадрат Q со стороной а+b (рис. 6, б). На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоуголь­ные треугольники Т1, Т2, Т3, Т4 с катетами а и b. Четырех­угольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р – квадрат со стороной с.

Все треугольники Т1, Т2, Т3, Т4  равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т.е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые.

Пусть a и b— величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, a+b= 90°. Угол у при вершине А четырехугольника Р  вместе с углами, равными a и b, состав­ляет развернутый угол. Поэтому a+b=180°. И так как a+b= 90°, то g=90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следователь­но, четырехугольник Р — квадрат со стороной с.

Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треуголь­нику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T) .

Так как S(Q)=(a+b) 2 ; S(P)=c2 и S(T)=1/2(ab), то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство

(a+b) 2=c2+4*(1/2)ab . Поскольку (a+b)2=a2+b2+2ab, то равенство (a+b)2=c2+4*(1/2)ab мож­но записать так: a2+b2+2ab=c2+2ab.

Из равенства a2+b2+2ab=c2+2ab следует, что с2=а2+b2.

Теорема (обобщенная теорема Пифагора).

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. Рассмотрим какие-то три сходственных отрезка в треугольниках ABC, ACD и CBD (CD - высота в ABC). Обозначим их через lc, lb и la соответственно. Тогда справедливо равенство .

Доказательство. Как мы знаем, треугольники ABC, ACD и CBD (рис. 1) подобны. Согласно свойству подобных треугольников, любые два соответственных отрезка в них относятся одинаково.

Это означает, что (рис. 1). Обозначим каждую из дробей через k. Тогда lc=kc, lb = kb, la = ka. И если мы теперь в равенстве c2 = b2 + a2 умножим обе части почленно на k2, то получим .