16. Вневписанная окружность.
Опр1. Окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон, называется вневписанной окружностью.
На рис. окружность касается стороны ВС(а) треугольника АВС и продолжений его сторон АС(b) и АВ(с). Центр окружности часто обозначают Iа (окружность касается стороны а), а радиус — rа .
T 1. Центр вневписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис двух внешних углов и внутреннего угла треугольника, лежащего против стороны касания с окружностью. Дано: ∆АВС, Доказать: существует Iа — точка пересечения биссектрис углов CAB, МСВ, NBC, где М АС, МС + СА = AM , N АВ и NB + ВА = NA . Доказательство: 1) Проведем биссектрису угла CAB. Тогда любая ее точка равноудалена от сторон АС и АВ угла. 2) Проведем биссектрису угла МСВ. Точка Iа пересечения этой биссектрисы и биссектрисы угла CAB равноудалена от стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС. Значит, точка Iа лежит на биссектрисе угла CBN. 3) Таким образом, Iа — точка пересечения биссектрисы внутреннего угла CAB и двух биссектрис внешних углов МСВ и NBC треугольника AВС.
Если .
T 2. Точка касания вневписанной окружности треугольника делит его периметр пополам. Дано: ∆ABC, Iа — центр вневписанной окружности, IаК — радиус вневписанной окружности, проведенный в точку касания со стороной ВС. Доказать: АС + СК = АВ + ВК. Доказательство. AT = АР, СТ = СК , ВК = BP как отрезки касательных, проведенные из одной точки. 2АТ = АТ + АР = AC + СТ + АВ + BP = =AC + CK + AB + BK = 2P,где P — полупериметр ∆ ABC . Значит, AT = P, но AT = AC + CT = = AC + CK = P. Таким образом, AC + CK = P = = AB + BK, т.е. точка К касания вневписанной окружности треугольника делит его периметр пополам. Для любого треугольника можно построить три вневписанные окружности.
Т3. Площадь S треугольника АВС равна . Док-во:
- 1. Рациональные уравнения и методы их решения
- Методы их решения
- Функциональные методы
- 2. Рациональные неравенства и методы их решения
- Алгебраические неравенства.
- 3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
- Основные свойства модуля:
- I тип уравнений
- II тип уравнений
- III тип уравнений
- 4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
- 1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.
- 5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- Преобразования, приводящие к равносильному уравнению
- 6. Неравенства. Равносильные неравенства. Неравенства-следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств
- 7. Системы и совокупности уравнений. Основные методы решения систем уравнений
- Совокупности уравнений
- 8. Системы и совокупности неравенств
- Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
- 9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
- 10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
- 11. Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений
- 12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
- 13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
- 14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
- 15. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- 2. Способ замены.
- 3. Разложение на множители.
- 4. Однородные тригонометрические уравнения вида
- 5. Универсальная замена.
- 16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
- 17. Решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции
- 18. Метод интервалов при решении тригонометрических неравенств
- 19. Графики функций и уравнений. Основные преобразования графиков функций
- 1) Область определения функции и область значений функции.
- 3) Пересечение с осями коорд.
- 6) Точки экстремума
- 7) Периодическость функции.
- 21. Основные тригонометрические функции и их св-ва
- 22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства
- 24. Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
- 25. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
- 26. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства
- 27. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств
- Основные соотношения между элементами треугольника
- 2. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника
- 3.Медиана треугольника. Теоремы связанные с медианами треугольника. Формулы для нахождения медиан
- 4.Биссектриса треугольника. Теоремы связанные с биссектрисами треугольника. Формулы для нахождения биссектрис
- 5. Метод площадей.
- 6.Теорема Чевы
- 7.Теорема Менелая
- 8. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.
- 9.Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд
- Свойства хорд
- 10. Свойства секущих и касательных к окружности.
- 11. Измерение углов, связанных с окружностью
- 12. Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности
- 13. Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности
- 14. Прямая Эйлера
- 15. Окружность Эйлера
- 16. Вневписанная окружность.
- 17. Основные виды четырехугольников, их св-ва и признаки
- 18. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники
- 19. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
- 20. Теорема Пифагора для четырехугольников.
- 21. Теорема Птолемея.
- 1.Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур. Требования к проекционным чертежам.
- 2. Свойства параллельного проектирования. Изображение многоугольников и тел вращения. Теорема Польке-Шварца.
- 3.Методы построения сечений многогранников.
- 5.Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.Использование параллельности для построения сечений многогранников.