11. Измерение углов, связанных с окружностью
Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, называемой центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется ее диаметром. Диаметр равен двум радиусам, а радиус равен половине диаметра.
Если на окружности взять две точки, то они разобьют окружность на две части, каждая из которых называется дугой окружности, а данные точки — концами этих дуг.
Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.
Кругом с центром О и радиусом R называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, удаленных от точки О не больше, чем на расстояние R.
Опр..Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется центральным углом.
Опр. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера центрального угла, который соответствует этой дуге. Две дуги одной окружности наз. равными, если их градусные меры равны.
Т4. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Следствие. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Следствие. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (т.е. на диаметр), прямой.
Опр. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Опр. Всякая прямая, имеющая с окружностью две общие тонки, называется секущей этой окружности.
Т9. Дуги, заключенные между касательной к окружности и параллельной ей хордой и этой окружности, равны. Доказательство. ОМ ┴т , т.к. т — касательная к окр. О в точке М. Значит, ОМ ┴АВ, так как т || АВ.
Тогда в равнобедренном треугольнике АОВ ON— биссектриса, где N = ОМ ∩АВ, т. е. AOM = MOB и AM = МВ.
Эту теорему можно сформулировать еще и так: если касательная параллельна хорде, то точка касания делит дугу, стягиваемую хордой, пополам.
Т10. Угол между двумя пересекающимися хордами измеряется полусуммой дуг этой окружности, одна из которых заключена между его сторонами, а другая — между их продолжениями.
Т11. Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны пересекают окружность, измеряется полуразностью дуг, отсекаемых сторонами угла и заключенных внутри него.
Т12. Угол, образованный касательной к окружности и хордой, равен половине дуги которая стягивает хорда
Т13. Угол, образованный касательной и секущей равен полуразности дуг заключенных между ними
- 1. Рациональные уравнения и методы их решения
- Методы их решения
- Функциональные методы
- 2. Рациональные неравенства и методы их решения
- Алгебраические неравенства.
- 3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
- Основные свойства модуля:
- I тип уравнений
- II тип уравнений
- III тип уравнений
- 4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
- 1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.
- 5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- Преобразования, приводящие к равносильному уравнению
- 6. Неравенства. Равносильные неравенства. Неравенства-следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств
- 7. Системы и совокупности уравнений. Основные методы решения систем уравнений
- Совокупности уравнений
- 8. Системы и совокупности неравенств
- Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
- 9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
- 10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
- 11. Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений
- 12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
- 13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
- 14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
- 15. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- 2. Способ замены.
- 3. Разложение на множители.
- 4. Однородные тригонометрические уравнения вида
- 5. Универсальная замена.
- 16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
- 17. Решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции
- 18. Метод интервалов при решении тригонометрических неравенств
- 19. Графики функций и уравнений. Основные преобразования графиков функций
- 1) Область определения функции и область значений функции.
- 3) Пересечение с осями коорд.
- 6) Точки экстремума
- 7) Периодическость функции.
- 21. Основные тригонометрические функции и их св-ва
- 22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства
- 24. Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
- 25. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
- 26. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства
- 27. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств
- Основные соотношения между элементами треугольника
- 2. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника
- 3.Медиана треугольника. Теоремы связанные с медианами треугольника. Формулы для нахождения медиан
- 4.Биссектриса треугольника. Теоремы связанные с биссектрисами треугольника. Формулы для нахождения биссектрис
- 5. Метод площадей.
- 6.Теорема Чевы
- 7.Теорема Менелая
- 8. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.
- 9.Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд
- Свойства хорд
- 10. Свойства секущих и касательных к окружности.
- 11. Измерение углов, связанных с окружностью
- 12. Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности
- 13. Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности
- 14. Прямая Эйлера
- 15. Окружность Эйлера
- 16. Вневписанная окружность.
- 17. Основные виды четырехугольников, их св-ва и признаки
- 18. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники
- 19. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
- 20. Теорема Пифагора для четырехугольников.
- 21. Теорема Птолемея.
- 1.Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур. Требования к проекционным чертежам.
- 2. Свойства параллельного проектирования. Изображение многоугольников и тел вращения. Теорема Польке-Шварца.
- 3.Методы построения сечений многогранников.
- 5.Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.Использование параллельности для построения сечений многогранников.