PRZ_-_shpory

1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.

Решить неравенство │х–2│< 3

Решение: Решениями неравенства будут числа, находящиеся на расстоянии меньше 3 от нуля модуля, равном 2.

Ответ: x є (–1;5)

когда g(х) а = const, неравенство где эквивалентно следующему:

1.	\|f(x)\| < a	a≤0	нет решений
2.	\|f(x)\| < a	a > 0	-a < f(x) < a
3.	\|f(x)\| ≤a	a < 0	нет решений
4.	\|f(x)\| ≤ a	a = 0	f(x) = 0
5.	\|f(x)\| ≤a	a > 0	-a ≤ f(x)≤ a
6.	\|f(x)\| > a	a < 0	множество решений совпадает с ОДЗ
7.	\|f(x)\| > a	a = 0	f(x)≠0
8.	\|f(x)\| > a	a > 0	f(x) < -a или f(x) > a
9.	\|f(x)\| ≥a	a ≤ 0	множество решений совпадает с ОДЗ
10.\|	f(x)\| ≥ a	a > 0	f(x)≤ -a или f(x)≥ 0

Неравенства вида |f(x)| > g(x) (, <, ) рекомендуем решать одним из двух способов, которые рассмотрены ниже.

1). Из определения модуля следует, что изучаемые неравенства равносильны совокупности либо системе следующих неравенств:

|f(x)| > g(х) ; |f(x)| < g(х)

Если неравенства, находящиеся слева от знаков " ", являются нестрогими, то и в правой части зквивалентностей все неравенства следует заменить соответствующими нестрогими ("направленными" в ту же сторону). В частном случае, когда g{х)а = const, неравенство где эквивалентно следующему:

2). В ряде случаев (например, если g(х) — квадратный корень либо абсолютная величина, либо любая непрерывная функция, принимающая на всей области определения неотрицательные значения), рассматриваемые неравенства удобнее всего решать возведением в квадрат. Как и в неравенствах |f{x)| > g(х) (≥,≤ 1, <), это можно сделать на множестве g(х) > 0. Для тех х из ОДЗ, где g(х) < 0, неравенство проверяется устно. Далее возможен следующий порядок действий (знак ">" выбран для определенности).

Алгоритм решения неравенства если g(х) > 0

1. Почленно возвести в квадрат |f(x)|² > (g(x))², используя свойство 6, получим неравенство равносильное данному f(x)² > (g(х))²

2. Перенести (g(х))² в левую часть f(x)² - g(x)² > 0

3. Воспользоваться формулой (f(x) - g(х)) (f(x) + g(x)) > 0

4. Применить метод интервалов

Метод интервалов:

Состоит в том, что, зная промежутки, на которых функция, находящая под знаком модуля принимает значения определенных знаков, снимают знак модуля. В общем случае при решении неравенств этим способом поступают так:

а) Находят ОДЗ неравенства.

б) Находят точки в которых функции, стоящие под знаком модуля, равны 0.

в) Полученные точки разделяют ОДЗ на несколько множеств.

г) На каждом, из полученных множеств, определяют знак каждой функци и, согласно определению модуля, снимают знак модуля.

д) Решают каждое из полученных неравенств.

е) Полученные множества объединяют.

Содержание