27. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств

обобщённый метод интервалов

Данный способ наиболее универсален при решении неравенств практически любого типа. Схема решения выглядит следующим образом:

1. Привести неравенство к такому виду, где в левой части находится функция , а в правой 0.

2. Найти область определения функции

3. Найти нули функции , то есть – решить уравнение (а решать уравнение обычно проще, чем решать неравенство)

4. Изобразить на числовой прямой область определения и нули функции.

5. Определить знаки функции на полученных интервалах.

6. Выбрать интервалы, где функция принимает необходимые значения и записать ответ.

(В основе этого метода лежит следующее свойство двучлена (х – а): точка а делит числовую ось на две части — справа от точки а двучлен (х – а) положителен, а слева от точки а — отрицателен.

Пусть требуется решить неравенство

(х – а1)(х - a2) ...(x - an) >0, (1)

где а1, a2, …, an-1, an — фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что а1<а2<...<аn-1<аn

Рассмотрим многочлен

P(x) = (x-a1)(x-a2)...(x-an) (2)

Для любого числа х0 такого, что х0 > аn, соответствующее числовое значение любого сомножителя в произведении (2) положительно, а значит, Р(х0) > 0. Для любого числа x1, взятого из интервала (аn-1, an) соответствующее числовое значение любого из множителей, кроме множителя (x - an), положительное, поэтому число Р(х1) < 0 и т. д.

На этом рассуждении и основан метод интервалов, состоящий в следующем: на числовую ось наносят числа a1, а2, ..., аn; в промежутке справа от наибольшего из них, то есть числа an, ставят знак плюс, в следующем за ним справа налево интервале ставят знак минус, затем — знак плюс, затем — знак минус и т. д. Тогда множеством всех решений неравенства (1) будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак плюс, а множеством решений неравенства

(х – а1)(х - a2) ...(x - an)<0, (3)

где а1 < а2 < ... < аn, будет объединение всех промежутков, в которых стоит знак минус.)