3. Критерий согласия 2 Пирсона и схема его применения

В наиболее часто используемом на практике критерии ² Пирсона в качестве меры расхождения U берется величина ² ("хи-квадрат"):

где n_i, – эмпирические (опытные) частоты случайной величины X;

np_i – теоретические частоты, представляющие произведение числа наблюдений п на вероятности p_i, рассчитанные по предполагаемому теоретическому распределению.

Доказано, что выборочная характеристика или, как ее еще называют, статистика ² (*) при п имеет ²–распределение с k=m-s-1 степенями свободы,

где:

т – число интервалов эмпирического распределения (вариационного ряда);

s – число параметров теоретического распределения, определяемых по опытным данным (например, в случае нормального закона распределения число оцениваемых по выборке параметров s=2).

Схема применения критерия ² сводится к следующему:

1. Определяется мера расхождения эмпирических и теоретических частот ² по (*).

2. Для выбранного уровня значимости  по таблице ²–распределения ([2], прил. III, с. 108) находят критическое значение ²_,k при числе степеней свободы k=m-s-1.

3. Если фактически наблюдаемое значение ² больше критического, т. е. ²>²_,k , гипотеза H₀ отвергается; если ²²_,k гипотеза H₀ не противоречит опытным данным.

Замечание 1. Если в таблице ²–распределения приводятся вероятности P(²>²_,k) ([1], прил. IV, с. 315), то гипотеза Н₀ отвергается, если вероятность P(²>²_,k) меньше выбранного уровня значимости, и принимается в противном случае.

Замечание 2. Критерий ² Пирсона дает удовлетворительные результаты, если в каждом интервале было достаточное число наблюдений n_i ; если в каком-нибудь интервале число наблюдений меньше 5, имеет смысл объединить соседние интервалы с тем, чтобы в объединенных интервалах n_i было не меньше 5. При этом при вычислении числа степеней свободы k в качестве т берется соответственно уменьшенное число интервалов.

Для определения статистики ² удобно составить таблицу: