3. Оценка тесноты связи. Коэффициент корреляции (выборочный), его определение и свойства

Рассмотрим случай линейной корреляции. Уравнение прямой регрессии Y по X равносильно уравнению (при условии, что s_x и s_y отличаются от нуля). Величина показывает, на сколько величин s_y изменится в среднем величина Y, когда величина X изменится на s_x .

Определение 1. Коэффициентом корреляции (выборочным) называется величина

.

Коэффициент корреляции является показателем тесноты связи между случайными величинами Х и Y .

Так как , то , т.е. формула для коэффициента корреляции r симметрична относительно переменных Х и Y .

Следовательно, то же значение тесноты связи между случайными величинами Х и Y будет получено при рассмотрении уравнения прямой регрессии X по Y:

.

Отсюда получаем или , причем коэффициент корреляции имеет тот же знак, что и выборочные коэффициенты прямых регрессии.

Можно показать, что коэффициент корреляции принимает значения из отрезка [-1;1]. Чем ближе r к 1, тем теснее связь между случайными величинами Х и Y . При этом различают связь слабую, умеренную, заметную, достаточно тесную, тесную и весьма тесную.

Если r = 1, то корреляционная зависимость является линейной функциональной зависимостью.

Если r = 0, то линейная корреляционная связь отсутствует.