§ 4. Точка в системе двух плоскостей проекций

Выше (§ 2) было сказано, что проекция точки не определяет положения

точки в пространстве, и чтобы, имея проекцию точки, установить это

положение, требуются дополнительные условия. Например, дана прямоугольная

проекция точки на горизонтальной плоскости проекций и указано удаление этой

точки от плоскости числовой отметкой; плоскость проекций принимается за

"плоскость нулевого уровня", и числовая отметка считается положительной,

если точка в пространстве выше плоскости нулевого уровня, и отрицательной,

если точка ниже этой плоскости.

На этом основан метод проекций с числовыми отметками 1).

В дальнейшем изложении определение положения точек в пространстве будет

производиться по их прямоугольным проекциям на двух и более плоскостях

проекций.

На рис. 9 изображены две взаимно перпендикулярные плоскости. Примем их

за плоскости проекций. Одна из них, обозначенная буквой 1, расположена

горизонтально; другая, обозначенная буквой 2,-- вертикально. Эту плоскость

называют фронтальной плоскостью проекций, пл. 1 называют горизонтальной

плоскостью проекций. Плоскости проекций 1 и 2 образуют систему 1 , 2.

Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций. Ось

проекций разделяет каждую из плоскостей 1 и 2 на полуплоскости. Для этой

оси будем применять обозначение или обозначение в виде дроби 2\1. Из четырех двугранных углов, образованных плоскостями проекций, считается первым тот, грани которого на рис. 9 имеют обозначения 1 и 2.

На рис. 10 показано построение проекций некоторой точки А в системе 1, 2. Проведя из А перпендикуляры к 1 и 2, получаем проекции точки А: горизонтальную, обозначенную А', и фронтальную, обозначенную А".

Проецирующие прямые, соответственно перпендикулярные к 1 и 2,

определяют плоскость, перпендикулярную к плоскостям и к оси проекций. Эта

плоскость в пересечении с 1 и 2 образует две взаимно перпендикулярные

прямые А'АХ и А"АХ, пересекающиеся в точке Ах на оси проекций.

Следовательно, проекции неко-

рис.9 рис.10

¹) Метод проекций с числовыми отметками в программу

излагаемого курса не входит. Интересующихся отсылаем к книгам по

начфтательной геометрии для строительных и архитектурных специальностей.

торой точки получаются расположенными на прямых, перпендикулярных к оси

проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке.

Если даны проекции А' и А" некоторой точки А (рис. 11), то, проведя

перпендикуляры -- через А' к пл. 1 и через А" к пл. 2 -- получим в

пересечении этих перпендикуляров определенную точку. Итак, две проекции

точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной

системы плоскостей проекций.

Рис. 11 Рис. 12

Повернув пл. вокруг оси проекций на угол 90° (как это показано на

рис. 12), получим одну плоскость -- плоскость чертежа; проекции А" и А'

расположатся на одном перпендикуляре к оси проекций (рис. 13) -- на линии

связи. В результате указанного совмещения плоскостей 1 и 2 получается

чертеж, известный под названием эпюр¹) (эпюр Монжа). Это чертеж в

системе 1, 2 (или в системе двух прямоугольных проекций).

Перейдя к эпюру, мы утратили пространственную картину расположения

плоскостей проекций и точки. Но, как увидим дальше, эпюр обеспечивает

точность и удобоизмеримость изображений при значительной простоте

построений. Чтобы представить по нему пространственную картину, требуется

работа воображения: например, по рис. 13 надо представить картину,

изображенную на рис. 10.

Так как при наличии оси проекций положение точки А относительно

плоскостей проекций 1и 2 установлено, то отрезок А'АХ выражает расстояние

точки А от плоскости проекций 2, а отрезок А "Ах -- расстояние точки А от

плоскости проекций 1. Так же можно определить расстояние точки А от оси

проекций. Оно выражается гипотенузой треугольника, построенного по катетам

А'АХ и А"А* (рис. 14): откладывая на эпюре отрезок А"А, равный А'АХ,

перпендикулярно к А"АХ, получаем гипотенузу ААХ, выражающую искомое

расстояние.

Следует обратить внимание на необходимость проведения линии связи между

проекциями точки: только при наличии этой линии, взаимосвязывающей проекции,

получается возможность установить положение определяемой ими точки.

Рис. 14

Условимся в дальнейшем эпюр Монжа, а также проекционные чертежи, в

основе которых лежит метод Монжа (см. § 3), называть одним словом -- чертеж:

и понимать это только в указанном смысле. В других случаях применения слова

"чертеж" оно будет сопровождаться соответствующим определением

(перспективный чертеж, аксонометрический чертеж и т. п.).

¹) Ёриге (франц.) -- чертеж, проект. Иногда вместо "эпюр"

пишут и произносят "эпюра", что соответствует не произношению слова epure, а

женскому роду этого слова во французском языке.