Алгебраические неравенства.

Линейными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида

ax + b > 0, ax + b < 0 (ax + b>=0, ax + b<=0)

Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида

ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0,

ax² + bx + c >= 0, ax² + bx + c <= 0, где a, b, c – некоторые действительные числа и а ≠ 0.

Квадратное неравенство ax² + bx + c > 0 в зависимости от значения своих коэффициентов a, b и c имеет решения:

при а > 0 и D = b² – 4ac ≠0 , то х принадлежит интервалу

при а > 0 и D < 0 x – любое действительное число;

при а < 0 и D ≠0 x(( –х₁ ; ;х₁ ) );

при а < 0 и D < 0 x = ( (т. е. решении нет ).

Решение неравенства ax² + bx + c < 0 сводится к решению рассмотренного неравенства, если обе части неравенства умножить на (–1).

Метод интервалов.(основной метод)

Находим область определения функции, затем отмечаем в этой области нули функции, которые разбивают область определения на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция определена, непрерывна и сохраняет знак. Для определения знака функции на конкретном промежутке находим знак в любой (удобной) точке этого промежутка.

Дробно–рациональные неравенства.

Решение рационального неравенства Pn(x)/Qn(x) > 0 (5) где Рn(х) и Qm(х) (многочлены, сводится к решению эквивалентного неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на многочлен [Qm(x)]2, который положителен при всех допустимых значениях неизвестного х (т.е. при тех х, при которых Qm(x) ( 0), получим неравенство Рn(х) ( Qm(x) > 0, эквивалентное неравенству (5).

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ

Неравенства с одной или двумя переменными можно решать графически.

Неравенство с одной переменой можно записать так: f(x) > g(x), где f(x) и g(x) – выражения, содержащие переменную.

Построим в одной системе координат графики функций y = f(x) и у = g(x).

Решение неравенства с двумя переменными f(x,y)>0 есть множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому неравенству. Рассмотрим на примерах решение некоторых неравенств с двумя переменными.