Свойства хорд
Т1. Диаметр перпендикулярен хорде, не являющейся диаметром, тогда и только тогда, когда он проходит через середину хорды. Дано: CD — диаметр окружности О, АВ — хорда окружности О. CD ∩ АВ = М , AM = MB. Доказать: CD ┴ АВ . Доказательство. Треугольник АОВ равнобедренный (OA = OB как радиусы окружности), ОМ — его медиана. Значит, ОМ — высота треугольника, т. е. ОМ ┴ АВ, или диаметр CD перпендикулярен хорде АВ. Докажем обратное.
Дано: CD — диаметр окружности О, АВ — хорда окружности О, М = AB∩CD, CD ┴ АВ. Доказать: AM = MB. Доказательство. Треугольник АОВ равнобедренный (OA = OB) и ОМ — его высота, а значит, ОМ — медиана, т. е. AM= MB.
Следствие. Расстояние от центра окружности до хорды равно расстоянию от центра до середины хорды.
Т2. Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от центра. Дано: окружность О, CD — хорда окружности О, АВ — хорда окружности О, АВ = CD. М— середина АВ, N— середина CD. Доказать: ОМ = ON. Доказательство. ∆OND = ∆ОМВ, так как они прямоугольные (ON ┴CD и ОМ┴АВ), ND= MB как половины отрезков CD и АВ, и OD = ОВ как радиусы окружности. Из равенства треугольников OND и ОМВ следует равенство их катетов ON и ОМ. Докажем обратное. Дано: окружность О, АВ и CD — ее хорды, ON┴CD, т. е. N— середина CD, М— середина АВ, т. е. ОМ ┴ АВ , ОМ= ON. Доказать: АВ = CD. Доказательство. ∆OND = ∆OMB, так как они прямоугольные ( OND = OMB = 90°), ON = ОМ (по условию) и OD = ОВ (радиусы окружности О). Из равенства треугольников OND и ОМВ следует равенство их катетов ND и MB. Значит, CD = 2ND = 2MB = АВ.
Опр..Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется центральным углом.
Если две хорды АВ и KL пересекаются в точке М, то справедливо равенство: АМ*МВ=КМ*ML=R2-d2
Т3. Хорды данной окружности равны тогда и только тогда, когда они стягивают равные дуги. Доказательство: Равенство хорд АВ и CD следует из равенства треугольников АОВ и COD (по двум сторонам и углу между ними). Обратно: Дано: окр. О, АВ и CD — хорды окружности О, АВ=СD. Доказать: AOB= COD.
Д-во: Равенство углов АОВ и COD следует из равенства треугольников АОВ и COD (по трем сторонам).Эта теорема может быть сформулирована и таким образом: равные хорды видны из центра окружности под равными углами, и наоборот, под равными углами из центра окружности видны равные хорды. Т4. Дуги, заключенные между параллельными хордами окружности, равны. Док-во: Равенство дуг АС и BD непосредственно следует из равенства углов ABC и BCD. (см. рис. Справа ------>------>------>------>------>------>------>)
- 1. Рациональные уравнения и методы их решения
- Методы их решения
- Функциональные методы
- 2. Рациональные неравенства и методы их решения
- Алгебраические неравенства.
- 3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
- Основные свойства модуля:
- I тип уравнений
- II тип уравнений
- III тип уравнений
- 4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
- 1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.
- 5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- Преобразования, приводящие к равносильному уравнению
- 6. Неравенства. Равносильные неравенства. Неравенства-следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств
- 7. Системы и совокупности уравнений. Основные методы решения систем уравнений
- Совокупности уравнений
- 8. Системы и совокупности неравенств
- Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
- 9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
- 10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
- 11. Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений
- 12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
- 13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
- 14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
- 15. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- 2. Способ замены.
- 3. Разложение на множители.
- 4. Однородные тригонометрические уравнения вида
- 5. Универсальная замена.
- 16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
- 17. Решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции
- 18. Метод интервалов при решении тригонометрических неравенств
- 19. Графики функций и уравнений. Основные преобразования графиков функций
- 1) Область определения функции и область значений функции.
- 3) Пересечение с осями коорд.
- 6) Точки экстремума
- 7) Периодическость функции.
- 21. Основные тригонометрические функции и их св-ва
- 22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства
- 24. Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
- 25. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
- 26. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства
- 27. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств
- Основные соотношения между элементами треугольника
- 2. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника
- 3.Медиана треугольника. Теоремы связанные с медианами треугольника. Формулы для нахождения медиан
- 4.Биссектриса треугольника. Теоремы связанные с биссектрисами треугольника. Формулы для нахождения биссектрис
- 5. Метод площадей.
- 6.Теорема Чевы
- 7.Теорема Менелая
- 8. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.
- 9.Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд
- Свойства хорд
- 10. Свойства секущих и касательных к окружности.
- 11. Измерение углов, связанных с окружностью
- 12. Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности
- 13. Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности
- 14. Прямая Эйлера
- 15. Окружность Эйлера
- 16. Вневписанная окружность.
- 17. Основные виды четырехугольников, их св-ва и признаки
- 18. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники
- 19. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
- 20. Теорема Пифагора для четырехугольников.
- 21. Теорема Птолемея.
- 1.Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур. Требования к проекционным чертежам.
- 2. Свойства параллельного проектирования. Изображение многоугольников и тел вращения. Теорема Польке-Шварца.
- 3.Методы построения сечений многогранников.
- 5.Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.Использование параллельности для построения сечений многогранников.