3. Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин. Теорема Чебышева и ее значение

Теорема 1. (Неравенство Чебышева для средней арифметической случайных величин). Если дисперсии n независимых случайных величин Х₁, Х₂, … , Х_n , имеющих математическое ожидание, ограничены одной и той же постоянной С, то справедливо неравенство

.

Доказательство. Пусть . Тогда

.

По неравенству Чебышева для случайной величины Х и полученной оценке D(X)

.

Теорема 2. (Теорема Чебышева). Если дисперсии n независимых случайных величин Х₁, Х₂, … , Х_n ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий a₁, a₂, … , a_n, т.е.

или

.

Доказательство. По неравенству Чебышева для средней арифметической случайных величин

.

Но . Теорема доказана.