40. Теорема Ролля.
Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в
точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх
в точке х0, если f(x)-yкас<0 в О(х0)
Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в
точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) вниз в
точке х0, если f(x)-yкас>0 в О(х0)
О пределение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в
точке х0, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх
(вниз) на интервале (a,b), если она выпукла в верх (вниз)
в каждой точке этого интервала.
Определение: (точки перегиба) Пусть функция f(x) диф-
ференцируема в О(х0) и непрерывна в О(х0). Точка х0 –
называется точкой перегиба графика f(x), если при пере-
ходе через точку меняется знак выпуклости.
Теорема: (о достаточном условии выпуклости функции).
Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х0 и f’’(x0)<0 (f’’(x0)>0), тогда f(x) – выпукла вверх (вниз) в тоске х0.
Доказательство: Напишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме пеано:
Если х близко к х0, то знак квадрата скобки определяется знаком f(x0). Если f’’(x0)<0, то f(x)-yкас>0 в О(х0).
Если f’’(x0)>0, то f(x)-yкас>0 в О(х0)
- Примеры
- 5. Ограниченное снизу множество. Инфимум множества.
- 7. Свойство Архимеда. Плотное множество.
- Неархимедово упорядоченное поле
- 8. Единственность поля действительных чисел. Расширенное множество действительных чисел.
- 10. Теорема Больцано – Вейерштрасса.
- 12. Окрестность точки. Внутренняя точка. Открытое и замкнутое множества.
- 13. Проколотая окрестность точки. Открытый и замкнутый интервалы.
- 15. Открытое покрытие. Теорема Гейн-Бореля.
- Лемма Гейне — Бореля
- 16. Понятие функций. Область определения. Область значения.
- 17. Кольцо функций. Деление двух функций.
- Примеры
- Алгоритм Евклида
- Свойства евклидовых колец
- Свойства модулей над евклидовым кольцом
- 20. Односторонние пределы функций.
- 21. Пределы функций в бесконечности. Бесконечный предел.
- 22. Монотонная функция.
- Условия монотонности функции
- 2) В. П. (н. П.) функции f(X) в точке x0 предел верхних (нижних) граней множеств значений функции f(X) в окрестности точки х0, когда эти окрестности стягиваются к точке х0. Он обозначается
- Непрерывность функции в точке
- Определение 25 (точки разрыва). A - точка разрыва f, если
- 28. Композиция двух функции и её непрерывность.
- 29. Ограниченная функция. Ограниченность непрерывных функции в замкнутом интервале.
- Определение
- 37. Дифференцирование сложной функции.
- 38. Односторонние производные функции.
- 39. Экстремумы и точки перегиба функции.
- Экстремумы
- В ыпуклость и вогнутость.
- 40. Теорема Ролля.
- Теорема (Ролля):
- 41. Теорема о промежуточном значении для производной.
- Отношение бесконечно больших
- 43. Полином Тейлора. Остаточный член.
- 44. Теорема Тейлора.
- 45. Расширенная теорема о главном значении.