Математический анализ 1

41. Теорема о промежуточном значении для производной.

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что .

Доказательство Рассмотрим функцию Она непрерывна на отрезке и , Покажем, что существует такая точка , что Разделим отрезок точкой на два равных по длине отрезка, тогда либо и нужная точка найдена, либо и тогда на концах одного из полученных отрезков функция принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).

Обозначив полученный отрезок , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке , либо получим последовательность вложенных отрезков по длине стремящихся к нулю и таких, что

Пусть - общая точка всех отрезков , Тогда и в силу непрерывности функции

Поскольку

получим, что

Следствия

(Теорема о нуле непрерывной функции.)

Словами. Если функция на концах отрезка принимает значения противоположных знаков, то существует точка, в которой она равна нулю. Словами и формулами. Пусть и Тогда такое, что

В частности любой многочлен нечётной степени имеет по меньшей мере один нуль;

42. Правило Лапиталя для неопределенности.

Точная формулировка

Условия:

или ;
и дифференцируемы в проколотой окрестности ;
в проколотой окрестности ;
существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

Доказательство

Отношение бесконечно малых

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида .

Поскольку мы рассматриваем функции и только в правой проколотой полуокрестности точки , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть . Возьмём некоторый из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши. По этой теореме получим:

но , поэтому .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через , из полученного равенства выводим:

для конечного предела и

для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

Содержание