3. Понятие о функции распределения и плотности вероятности двумерной случайной величины

Определение 1. Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называется функция F(x, y), выражающая вероятность совместного выполнения двух неравенств Х < x и Y < y, т.е. F(x, y) = P(Х < x, Y < y).

Геометрически функция распределения F(x, y) означает вероятность попадания случайной точки (Х, У) в бесконечный квадрант, лежащий левее и ниже точки M(x, y).

Свойства функции распределения:

1. Функция распределения F(x, y) есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т.е. 0 ≤ F(x, y) ≤ 1.

2. Функция распределения F(x, y) есть неубывающая функция по каждому из аргументов.

3. Если хотя бы один из аргументов обращается в -∞, функция распределения F(x, y) равна нулю.

4. Если один из аргументов обращается в +∞, то функция распределения F(x, y) становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу.

5. Если оба аргумента равны +∞, то функция распределения равна единице.

Геометрически функция распределения есть некоторая поверхность, обладающая указанными свойствами.

Определение 2. Двумерная случайная величина (Х, У) назывется непрерывной, если ее функция распределения F(x, y) – непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, и существует вторая смешанная производная.

Определение 3. Плотностью вероятности непрерывной двумерной случайной величины (Х, У) называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т.е. φ(х, у) =  .

Геометрически плотность вероятности двумерной случайной величины (Х, У) представляет собой поверхность распределения в пространстве ОXYZ.

Плотность вероятности φ(х, у) обладает свойствами, аналогичными свойствам плотности вероятности одномерной случайной величины:

1. Плотность вероятности двумерной случайной величины есть неотрицательная функция.

2. Вероятность попадания непрерывной двумерной случайной величины в прямоугольник вычисляется по формуле

3. Условные плотности распределения определяются формулами:

4. Условные математические ожидания вычисляются по формулам: