Начертальная геометрия

§ 21. Построение проекций плоских фигур

Построение проекций плоских фигур (т. е. фигур, все точки которых лежат

в одной плоскости, например, квадрата, круга, эллипса и т. д.) сводится к

построению проекций ряда точек, отрезков прямых и кривых линий, образующих

контуры проекций фигур. Зная координаты вершин, например, треугольника,

можно построить проекции этих точек, затем проекции сторон и получить таким

образом проекции фигуры.

Чертежи, содержащие проекции треугольника,, уже встречались (например,

рис. 110, 112 и др.). Если сравнить между собой рис. 110 и 112, то можно

заметить, что на рис. ПО одна из проекций, положим фронтальная, изображает

"лицевую" сторону треугольника, а горизонтальная - "тыльную". А на рис. 112

каждая из проекций изображает треугольник с одной и той же его стороны.

Признаком может служить порядок обхода вершин: на рис. 110 для фронтальной

проекции по часовой стрелке (считая от А" к С"), а для горизонтальной --

против часовой стрелки; на рис. 112 для обеих проекций обход в одном

направлении - в данном случае по часовой стрелке.

В общем случае в системе 1, 2 , 3 проекции какого-либо

многоугольника представляют собой также многоугольники с тем же числом

сторон; при этом плоскость этого многоугольника является плоскостью общего

положения. Но ,если в системе 1, 2 обе проекции, например, треугольника

представляют собой треугольник, то его плоскость может оказаться плоскостью

общего положения или профильно-проецирующей: на рис. 112 - плоскость общего

положения, а на рис. 127 - профильно-проецирующая. Определителем служит, как

было сказано на с. 52 в пояснении к рис. 127, горизонталь (или фронталь):

если ее проекции на , и 2 взаимно параллельны, то плоскость

профильно-проецирующая (рис. 127); если же не параллельны, то плоскость

общего положения (например, рис. 112, 115, слева).

Если проекция многоугольника на 1 или на 2 представляет собой отрезок

прямой, то плоскость этого многоугольника соответственно перпендикулярна к

1 или к 2. Например, на рис. 123 плоскость треугольника

горизонтально-проецирующая, на рис. 125 -- фронтально-проецирующая.

Фигура, расположенная параллельно плоскости проекций, проецируется на

нее без искажения. Например, все элементы треугольника CDE, изображенного на

рис. 133, проецируются на пл. 2 без искажения; круг, изображенный на рис.

140, проецируется на пл. 1 без искажения.

Если же плоскость фигуры не параллельна плоскости проекций, то для

определения натурального вида (т. е. без искажения) этой фигуры применяют

способы, указанные далее, в главе V. Конечно, можно было бы и теперь, не

зная еще этих способов, построить, например, натуральный вид треугольника,

изображенного на рис. 112, определив длину каждой его стороны как длину

отрезка (см. § 13) и затем построив треугольник по найденные отрезкам.

Вместе с тем определились бы и углы данного треугольника. Так поступают,

например, при построении развертки

Рис. 140 Рис. 141

боковой поверхности пирамиды, призмы и др. (см. далее § 44). Если же

многоугольник расположен в проецирующей плоскости, то можно построить его

натуральный вид так, как показано на рис, 141.

Положим, требуется определить натуральный вид четырехугольника KPNM,

расположенного в фронтально-проецирующей пл. ос. Тогда, как это показано на

рис. 141 справа, можно взять в плоскости фигуры две оси прямоугольных

координат с началом хотя бы в точке К: ось абсцисс (К"Х", К'Х¹)

параллельно пл. 2, ось ординат перпендикулярно к 2 (проекции этой оси

К"", К'Т), провести прямую KL (это можно сделать, например, параллельно

К"Х") и отложить на ней К1 = = К"Р", К2 -- К"М", КЗ = "". Затем на

перпендикулярах к прямой KL в точках 1,2 и. 3 отложим отрезки Р1 = F4, М2 --

М'5 и N3 = N'6. Построенный таким образом четырехугольник представляет

собой натуральный вид заданного.

При решении многих задач вопрос о том, какое положение занимает плоская

фигура относительно Плоскостей проекций, приобретает существенное значение.

В качестве примера рассмотрим вопрос о построении четырех замечательных

точек треугольника.

Так как делению отрезка прямой в пространстве пополам отвечает такое же

деление проекций этого отрезка (см. § 12), то построение точки пересечения

медиан треугольника') может быть произведено на чертеже во всех случаях

непосредственно. .Достаточно (рис. 142) провести медианы на каждой из

проекций треугольника, и точка пересечения его медиан будет определена. При

этом можно ограничиться построением обеих проекций лишь одной из медиан

(например, A'D' и A"D") и одной проекции второй медианы (например, В"Е"); в

пересечении⁴ A"D" и В"Е" получаем точку М", а по ней находим на

A'D' точку М'.

Можно было бы также, построив лишь одну из медиан треугольника, найти

на ней точку М на основании известного из геометрии свойства этой точки (она

делит каждую медиану в отношении 2:1).

Построение точки пересечения трех высот треугольника ²) и

точки перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через их

середины³), связано с проведением взаимно перпендикулярных

прямых.

*·) Точка пересечения медиан есть центр тяжести треугольника.

²) Ортоцентр треугольника.

Центр описанной окружности.

В § 15 были указаны условия, при которых перпендикулярные отрезки в

пространстве имеют своими проекциями также перпендикулярные отрезки. Если

плоскость треугольника параллельна плоскости проекций (например, треугольник

СОЕ на рис. 133), то, опустив пер-. пендикуляры из точек С", D" и Е" на

противоположные им стороны, получаем проекции высот треугольника. Но в

треугольнике общего положения так поступить нельзя.

В частном случае, когда одна сторона треугольника параллельна пл. 1,

а другая параллельна пл. 2 (рис. 143), проведя С"Е" перпендикулярно к A"B"

и В'Е' перпендикулярно к A'C', получаем в пространстве CF" AB и ВЕ" АС;

точка пересечения высот оказалась построенной без каких-либо особых приемов.

В сймом же общем случае для проведения на проекционной! чертеже

перпендикулярных линий приходится прибегать к особым приемам, которые будут

изложены дальше.

Построение точки пересечения биссектрис треугольника ') также может

быть произведено непосредственно лишь в частных случаях расположения

треугольника относительно плоскостей проекций. Это объясняется Тем, что

деление пополам проекции какого-либо утла отвечает его делению пополам в

пространстве только в том случае, если стороны данного угла одинаково

наклонены к той плоскости проекций, на которой производится деление пополам

проекции угла (см. § 15).

Рис. 143

При построении проекций какого-либо многоугольника необходимо обратить

внимание на то, чтобы не нарушалось условие нахождения всех точек данной

фигуры в одной плоскости.

На рис. 144 даны полностью горизонтальная проекция некоторого

пятиугольника ABCDE и фронтальные проекции только трех его вершин: А", В" и

Е". Справа

Рис. 144

на рис. 144 показано построение проекций остальных двух вершин, С" и

D", пятиугольника. Чтобы точки С и D лежали в плоскости, определенной тремя

точками А,

') Центр вписанной окружности.

В и Е, необходимо, чтобы они находились на прямых, лежащих в этой

плоскости. Этими прямыми являются диагонали AC, AD и BE, горизонтальные

проекции которых мы можем построить. На фронтальной проекции пятиугольника

мы можем провести лишь В"Е". Но в плоскости пятиугольника лежат точки

пересечения диагоналей К и М, горизонтальные проекции которых (К' и

М¹) имеются, а фронтальные проекции получаются сразу, так как они

должны лежать на В"Е". По двум точкам строятся фронтальные проекции и

остальных двух диагоналей А"К" и А"М"; на них должны лежать точки С" и D",

которые определяются по их горизонтальным проекциям. ·

Круг, плоскость которого параллельна какой-либо плоскости проекций,

проецируется на эту плоскость без искажения (см. рис. 140, где круг взят в

горизонтальной плоскости). Если плоскость круга расположена перпендикулярно

к плоскости проекций, то на эту плоскость круг проецируется в виде отрезка

прямой, равного диаметру круга.

Но если круг расположен плоскости, составляющей с плоскостью проекций

какой-либо острый угол , то проекцией круга является фигура, называемая

эллипсом.

Эллипсом называется также кривая, ограничивающая эллипс-фигуру: если

эллипс-фигура является проекцией круга, то эллипс-линия является проекцией

окружности. В дальнейшем изложении, говоря об эллипсе, будем подразумевать

проекцию окружности.

Эллипс относится к числу кривых, называемых кривыми второго порядка.

Уравнения таких кривых в декартовых координатах представляют собой уравнения

второго порядка. Кривая второго порядка пересекается с прямой линией в двух

точках. Далее мы встретимся еще с параболой и гиперболой, тоже кривыми

второго порядка.

Эллипс можно рассматривать как "сжатую" окружность. Это показано на

рис. 145, слева. Положим, что на радиусе ОВ отложен отрезок ОВ1 длиной b,

причем b < а (т. е. меньше радиуса окружности). Если теперь взять на

окружности какую-либо точку К и, проведя из К перпендикуляр на А 1 А2,

отметить на КМ точку

Рис. 145 Рис. 146

ку k1 так, чтобы МК1 :МК = b:а, то эта точка К, будет принадлежать

эллипсу. Так можно преобразовать каждую точку окружности в точку эллипса,

соблюдая одно и то же отношение b:а. Окружность как бы равномерно сжимается;

линия, в которую при этом преобразуется окружность, является эллипсом.

Отношение b: a называется коэффициентом сжатия эллипса. Если b приближается

к а; то эллипс расширяется и при b = а превращается в окружность.

Напомним (из курса черчения средней школы), что

1) отрезок А1А2=2а называется большой осью эллипса;

2) отрезок bib- = 2b называется малой осью эллипса;

3) большая и малая оси взаимно перпендикулярны;

точка пересечения осей называется центром эллипса;

5) отрезок прямой между двумя точками -эллипса, проходящий через -центр

эллипса, называется его диаметром;

6) точки A,, A2> В,, B2 называются вершинами эллипса;

7) эллипс симметричен относительно его осей и относительно его центра;

эллипс есть геометрическое место точек, сумма расстояний которых до

двух заданных точек Ft и F2 (рис. 145, справа) имеет одно и то же значение

2а (размер большой оси).

C'D' делит хорду M\N{, параллельную диаметру E'F', сопряженному с CD',

пополам. Но именно такие два диаметра эллипса, из которых каждый делит

пополам хорды, параллельные другому, являются сопряженными.

Сопряженные диаметры эллипса не перпендикулярны один к другому;

исключение составляют оси эллипса, Из рассмотрения рис. 146 следует, что при

повороте окружности вокруг диаметра AtA2 на угол этот диаметр,

параллельный пл. itlt сохраняет в горизонтальной проекции свою величину и

становится большой осью эллипса (см. рис. 146, справа). Диаметр же В1В2,

повернутый на угол 1 к пл. -, проецируется на нее с сокращением:

Это соответствует отношению осей эллипса, т. е. его коэффициенту

сжатия.

Если в окружности провести какие-либо два взаимно перпендикулярных

диаметра, то в проекции, представляющей собой эллипс (рис. 146, справа),

проекции таких диаметров окружности оказываются диаметрами эллипса,

называемыми сопряженными. Если в окружности (рис. 146, слева) провести,

например, хорду [(, параллельную диаметру E'F', то диаметр C'D' разделит

эту хорду (и все хорды, ей параллельные) пополам. Очевидно, что и в эллипсе

сохранится это свойство (см. рис. 146, справа): диаметр также являющиеся

парой сопряженных диаметров.

Рис. 147

Напомним, как производится построение эллипса по его осям (рис. 147,

слева). Построение выполняется при помощи двух концентрических окружностей,

проведенных радиусами а (большая полуось) и b (малая полуось). Если провести

какой-либо радиус ОМ, и прямые 1Л/„ и ЕМ, параллельные малой и

большой осям эллипса, то при пересечении этих прямых получится точка М,

принадлежащая эллипсу. Действительно,

Проводя ряд радиусов и повторяя указанное построение, получаем ряд

точек эллипса.

Построив какую-нибудь точку эллипса, можно построить еще три точки,

расположенные симметрично найденной относительно осей эллипса или его

центра.

На рис. 147 справа показано построение фокусов эллипса: засекая из

точки B, большую ось дугой, радиуса, равного большой полуоси oa 1, получаем

точки f 1 и F2 -- фокусы эллипса. Построив угол F 1КF2, где К -- любая точка

эллипса, проводим в нем биссектрису и перпендикулярно к ней в точке К

касательную к эллипсу. Прямая KN, перпендикулярная каса-тельной, является

нормалью¹) к эллипсу в точке К.

') От normal is (лат.) -- прямолинейный.

Как построить оси эллипса, если известны его сопряженные диаметры?

Пусть получены сопряженные полудиаметры CA и СВ (рис. 148). Для

построения осей эллипса:

1) один из сопряженных полудиаметров, например CB, поворачиваем на угол

90° по направлению к другому (до положения CB2);

2) проводим отрезок AB2 и делим его пополам;

3) из точки К проводим окружность радиусом КС; ·

4) прямую, определяемую отрезком АВ2, продолжаем до пересечения с этой

окружностью в точках D и E;

5) проводим прямую DC, получаем направление большой оси эллипса;

6) проводим ЕС -- направление малой оси эллипса;

7) откладываем С1 .= АЕ -- большая полуось;

8) откладываем СЗ = AD -- малая полуось;

9) откладываем С2 = С;, С4 = СЗ, С5,= СА, Со = СВ.

Эллипс может быть проведен через восемь точек /, А, 3, В, 2,5,4 и 6 или

построен по большой и малой осям, как показано на рис. 147.

Итак, проведя прямые CD и СЕ, мы получили направления большой и малой

осей эллипса; точка A, принадлежащая эллипсу, делит диаметр ED на два

отрезка, из которых один (АЕ) равен большой полуоси этого эллипса, а другой

(AD) -- малой полуоси. Если (рис. 149)

Рис. 150 Рис. 151

взять оси координат и у соответственно по прямым CD и СЕ и из точки А

провести перпендикуляр AD к прямой CD, то координаты,,точки А могут быть

выражены следующим образом:

Отсюда

Это уравнение эллипса, у которого АЕ -- большая полуось, а АО -- малая

полуось.

На рис. 146 было показано построение горизонтальной проекции

окружности, расположенной в фронтально-проецирующей плоскости, наклоненной к

пл. 1. Пусть теперь в такой

плоскости лежит эллипс с полуосями а и b. Его проекцией иногда может

оказаться окружность с диаметром, равным малой оси эллипса: это будет тогда,

когда для угла между плоскостью, в которой лежит эллипс, и пл. 1 имеет

место соотношение

(рис. 150). Полученная окружность будет служить проекцией ряда

эллипсов, если изменять угол и размер а, оставляя b неизменным. Представим

себе прямой круговой цилиндр с вертикальной осью (рис. 151); наклонные

сечения этого цилиндра будут эллипсами, малая ось которых равна диаметру

цилиндра.

ВОПРОСЫ К §§ 20-21

1. Как изображается на чертеже фронтально-проецирующая плоскость,

проведенная через прямую общего положения?

2. Как построить проекции центра тяжести в заданном чертеже

треугольника?

3. Что могут представлять собой проекции круга в зависимости от

положения его плоскости относительно плоскости проекций?

4. Можно ли рассматривать эллипс как "сжатую" окружность?

5. Что такое коэффициент сжатия эллипса?

6. Имеет ли эллипс: а) оси симметрии, б) центр симметрии?

7. Какие диаметры эллипса называются: а) осями, б) сопряженными

диаметрами?

8. Как по заданным сопряженным диаметрам эллипса построить его оси?

Содержание