§ 26. Построение линии пересечения двух плоскостей по точкам

ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

В § 24 был изложен общий способ построения линии, пересечения двух

плоскостей, а именно применение вспомогательных секущих плоскостей (см. рис.

166). Рассмотрим теперь другой способ построения в применении к плоскостям

общего положения. Этот способ заключается том, что находят точки

пересечения двух

70

прямых, принадлежащих одной из плоскостей, с другой плоскостью.

Следовательно, надо уметь строить точку пересечения прямой линии с

плоскостью общего положения, что изложено в § 25.

На рис. 177 показано пересечение треугольника ABC плоскостью, заданной

двумя параллельными прямыми (DE \\ FG). Построение свелось к построению

точек ki и К2, в которых прямые DE и F G пересекают плоскость треугольника,

и к проведению через эти точки отрезка прямой линии. Представляя себе, что

через DE и FG проведены фронтально-проецирующие плоскости, находим

параллельные прямые, по которым эти плоскости пересекают треугольник. Одна

из них выражена проекциями 1' 2' и 1" 2"; для другой показана одна точка 3",

3', через горизонтальную проекцию которой проведена прямая параллельно

проекции 1 2'. Определив положение проекций и К'2, находим проекции К'[ и

К2 и проекции отр. К1К2.

Конечно, и в рассмотренном случае применим общий способ (см. рис. 166),

но пришлось бы провести больше линий, чем это сделано на рис. 177.

На рис. 178 дано построение линии пересечения двух треугольников ABC и

DEF с указанием видимых и невидимых участков этих треугольников.

Прямая KiK2 построена по точкам пересечения сторон АС и ВС треугольника

ABC с плоскостью треугольника DEF. Вспомогательная фронтально-проецирующая

плоскость, проведенная через А С (на чфтеже эта плоскость особо не

обозначена), пересекает треугольник DEF по прямой с проекциями 1"2" и 1'2';

в пересечении проекций А'С' и 1'2' получена горизонтальная проекция точки Kt

пересечения прямой АС и треугольника DEF, затем построена фронтальная

проекция К"1. Так же .найдена и точка К2,

В примерах на рис. 177 и 178 мы встретились с вопросом о разделении

плоских фигур на части, видимые и невидимые для зрителя, так как плоскости

считаются

с

( -.·-

Рис.178 Рис.179

непрозрачными. На чертежах это показано при помощи штриховки

соответствующих частей треугольников ABC. Видимость определена на основании

таких же рассуждений, какие имели место в примере, рассмотренном на рис.

173.

На рис. 179 приведен еще один пример построения линии пересечения двух

треугольников. В данном случае с одинаковым основанием можно считать, что

треугольник ABC проходит в прорезь в треугольнике DEF или треугольник DEF

проходит в прорезь в треугольнике ABC: надо лишь условиться, в каком из

треугольников считать эту прорезь по прямой КгК2. Между тем в случае,

приведенном на рис. 178, прорезь только в треугольнике DEF и треугольник ABC

проходит через нее.

Самое построение на рис. 179 сводится к нахождению точки К, и точки N 2

при помощи фронтально-проецирующих плоскостей 1, и 2.

Следует еще раз обратить внимание на то, что применение штриховых линий

вместо сплошных, например на рис. 159, 161, 164, 165, 173--179, подсказано

желанием сделать изображения более наглядными. Если исходить из понятия о

проекции как геометрическом образе, то вопрос о "прозрачности" или

"непрозрачности", о "видимости" и "невидимости" отпал бы: все надо было бы

изображать сплошными линиями. Но для придания чертежам наглядности введены

некоторые условности, в том числе штриховые линии.

ВОПРОСЫ К §§ 25-26

1. В чем заключается в общем случае способ построения точки пересечения

прямой с, плоскостью?

2. Какие действия и в какой последовательности надо выполнить для

построения этой точки (см. вопрос 1)?

3. Как определить "видимость" при пересечении прямой с плоскостью?

4. Как можно построить прямую пересечения двух плоскостей, если не

применять общего способа, описанного в § 24?

5. Как определить "видимость" в случае взаимного пересечения двух

плоскостей?

6. Чем отличаются случаи, рассмотренные на рис. 178 и 179?