28. Композиция двух функции и её непрерывность.

Определение

Пусть   и   две функции. Тогда их композицией называется функция  , определённая равенством:

.

Связанные определения

• Термин «сложная функция» может быть применим к композиции двух функций, тем не менее он чаще употребляется в ситуации когда на вход функции нескольких переменных подаётся набор функций от одной или нескольких исходных переменных. Например функция   вида

Свойства композиции

• Композиция ассоциативна:

.

• Если   — тождественное отображение на  , то есть

,

то

.

• Если   — тождественное отображение на  , то есть

,

то

.

• Рассмотрим пространство всех биекций множества   на себя и обозначим его  . То есть если  , то   — биекция. Тогда композиция функций из   является бинарной операцией, а   — группой.   является нейтральным элементом этой группы. Обратным к элементу  является   — обратная функция.

  • Группа  , вообще говоря, не коммутативна, то есть  .

Дополнительные свойства

• Композиция непрерывных функций непрерывна. Пусть   — топологические пространства. Пусть   и   две функции,  . Тогда  .

• Композиция дифференцируемых функций дифференцируема. Пусть  . Тогда  , и

.