1. Функция распределения случайной величины, ее свойства и график

Функция распределения случайной величины — одно из фундаментальных понятий теории вероятностей, поскольку является универсальным описанием любой случайной величины. Функция распределения F(x) представляет вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т.е. F(x) = Р(Х < х). Необходимо знать свойства функции распределения F(x) .

Определение 1. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), которая определяется равенством

.

Функцию F(x) называют также интегральной функцией распределения.

Свойства функция распределения F(x) случайной величины Х:

1. F(x) — неотрицательная функция.

2. F(x) — неубывающая функция.

3. ; .

4. Приращение F(x) на промежутке [х₁; х₂) равно вероятности того, что случайная величина Х принимает значение из этого промежутка:

F(x₂) – F(x₁) = P(x₁  Х < x₂).

Доказательство. Свойства 1-3 вытекают непосредственно из определения функции F(x). Свойство 4 следует из теоремы сложения вероятностей: F(x₂) = P(Х < x₂) = P(Х < x₁) + P(x₁  Х < x₂) = F(x₁) + P(x₁  Х < x₂).

Отсюда P(x₁  Х < x₂) = F(x₂) – F(x₁).

Функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков F(x) равна 1.