21. Теорема Птолемея.

Если четырехугольник можно вписать в окружность то произведение его диагоналей равно сумме произведения его противоположных сторон.

Отметим на AC точку M такую, что ABM = DBC. Т. к. вписанные углы BDC и BAC опираются на одну и ту же хорду BC, они тоже равны друг другу. Таким образом, треугольники BDC и BAM подобны, а значит, CD/BD = MA/BA, или, перемножая крест на крест, MA ∙ BD = AB ∙ CD.

В то же время ABD = MBC (т. к. ABM = DBC), а BCA = BDA, как опирающиеся на одну хорду AB. Значит, AD/BD = MC/BC, или, перемножая крест на крест, MC ∙ BD = AD ∙ BC.

Складывая почленно равенства MA ∙ BD = AB ∙ CD и MC ∙ BD = AD ∙ BC, получаем (MA + MC) ∙ BD = AB ∙ CD + AD ∙ BC, или AC ∙ BD = AB ∙ CD + BC ∙ AD, что и требовалось доказать.