36. Логарифмическое дифференцирование.
Логарифмическое дифференцирование - в некоторых случаях целесообразнее
функцию сначала прологарифмировать, а результат продифференцировать.
Однако производные степенных функций находят только логарифмическим
дифференцированием.
Производная степенно-показательной функции равна сумме производно
показательной функции, при условии U=const, и производной степенной функции,
при условии V=const.
86
Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную
Если найти производную функции f(x), получим вторую производную функции f(x).
т.е. y = (y) или .
Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.
.
Общие правила нахождения высших производных.
Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то
1) (Сu)(n) = Cu(n);
2) (u v)(n) = u(n) v(n);
3)
.
Это выражение называется формулой Лейбница.
Также по формуле dny = f(n)(x)dxn может быть найден дифференциал n- го порядка.
87
Производная степенной функции.
Найдем производные от некоторых простейших функций.
Пусть . Имеем
,
т. е. производная есть постоянная величина, равная 1. Это очевидно, ибо - линейная функция и скорость ее изменения постоянна.
Если , то
.
Пусть , тогда
.
Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции при . Докажем, что и вообще производная от при любом целом положительном показателе равна .
Имеем
.
Выражение, стоящее в числителе, преобразуем по формуле бинома Ньютона:
.
Значит,
.
В правой части последнего равенства стоит сумма слагаемых, первое из которых не зависит от , а остальные стремятся к нулю вместе с . Поэтому
.
Итак, степенная функция при целом положительном имеет производную, равную :
.
При из найденной общей формулы следуют формулы, выведенные выше.
Этот результат верен для любого показателя , например:
.
Рассмотрим теперь отдельно производную от постоянной величины
.
Так как эта функция не изменяется с изменением независимой переменной, то . Следовательно,
,
т. е. производная постоянной равна нулю.
88
- § 3. Основные свойства определителей 3-го порядка.
- Тогда, используя свойство 5, а затем 4, будем иметь
- Свойства обратной матрицы
- Матричный метод решения систем линейных уравнений
- Алгоритм
- [Править] Пример
- Компланарные векторы
- Бесконечно малая величина
- [Править] Бесконечно большая величина
- Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах
- Бесконечно малые функции
- Свойства бесконечно малых функций
- Бесконечно большие функции
- Свойства бесконечно больших функций в точке
- Пределы функции на бесконечности
- Определения Править
- Окрестностное определение Править
- Определения Править
- Определения
- [Править] Односторонний предел по Гейне
- [Править] Односторонний предел по Коши
- [Править] Односторонний предел как предел вдоль фильтра
- [Править] Обозначения
- Построение асимптот при анализе функций
- Примеры:
- Точки разрыва
- Непрерывность функции в точке
- Свойства непрерывных функций
- Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции
- Теоремы о непрерывных функциях
- Непрерывность обратной функции
- Непрерывность функций
- [Править] Доказательство
- Формулировка
- [Править] Доказательство для r
- [Править] Замечания
- Второй замечательный предел
- Натуральные логарифмы
- Свойства Править
- Дифференцирование сложной функции
- [Править] Примеры
- [Править] Свойства
- [Править] Разложение в степенной ряд
- Теорема об обратной функции.
- Теорема (о дифференцировании обратной функции)
- Примеры
- Дифференцирование функций заданных параметрически
- 36. Логарифмическое дифференцирование.
- Правила отыскания производных показательных и логарифмических функций.
- Производные обратных тригонометрических функций
- Теорема Ролля
- Геометрический смысл теоремы Ролля
- Теорема Лагранжа
- Геометрический смысл теоремы Лагранжа
- Теорема Коши