[Править] Замечания

• По определению точки x_m и x_M являются точками глобального минимума и максимума соответственно. Таким образом непрерывная на отрезке функция достигает на нём своего минимума и максимума.

• В предположениях теоремы отрезок нельзя заменить на открытый интервал. Например, функция тангенс

непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.

• Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса - первую и вторую соответственно^[1].

[править] Обобщения

[править] Теорема Вейерштрасса для полунепрерывных функций

• Пусть функция полунепрерывна сверху. Тогда

и

• Пусть функция полунепрерывна снизу. Тогда

и

[править] Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций на компакте

Пусть дано топологическое пространство и компактное подмножество . Пусть дана непрерывная функция . Тогда

и

70

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где S_sectOKA — площадь сектора OKA)

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

71

72