Правила отыскания производных показательных и логарифмических функций.

Формула производной показательной функции:

.

Чтобы оценить, чему равен , посмотрим, какой смысл имеет выражение , стоящее под знаком этого предела.

Для этого отложим приращение от нуля. Разность окажется приращением функции в точке 0. Следовательно, отношение окажется тангенсом угла наклона секущей, проходящей через точку графика с абсциссой 0. Но это значит, что - это тангенс угла наклона касательной, проходящей через точку графика с абсциссой 0. Мы доказали, что - это производная функции в точке 0:

,

где k - производная функции в точке нуль. Отсюда сразу получается формула для .

Ведь число е - основание логарифмической функции, график которой пересекает ось абсцисс под углом 45°. Но тогда график обратной функции пересекает под углом 45° ось ординат, а следовательно, и ось абсцисс. То есть производная функции в нуле равна 1.

Отсюда .

По формуле производной обратной функции получаем производную натурального логарифма:

.

Теперь получаем производную логарифма с произвольным основанием: .

И, наконец, получаем производную показательной функции с произвольным основанием:

.

89

Производные тригонометрических функций

Производные шести тригонометрических функций и, соответственно, шести обратных тригонометрических функций определяются следующими формулами (рядом указана область определения каждой функции):

В приведенных ниже примерах мы предполагаем, что читатель (или если кто предпочитает - "пользователь") знаком с основными тригонометрическими формулами.

90