Построение асимптот при анализе функций

Понятие А. широко используется при анализе функций. Различают горизонтальные, вертикальные и наклонные А.

Кривая y = f(x) имеет горизонтальную А., если существует конечный предел функции f(x) при x → ∞ (x → -∞) и этот предел равен b, т.е.

Кривая y = f(x) имеет вертикальную А. x = a, если при x → a, x → a - 0, x → a, x → a + 0 f(x) → ∞ (f(x) → -∞). Для отыскания вертикальных А. надо найти те значения аргумента, вблизи которых f(x) неограниченно возрастает по абсолютной величине. Если такими значениями аргумента окажутся a₁, a₂, ..., a_n, то уравнения вертикальных А. будут иметь вид x = a₁, x = a₂, ..., x = a_n.

Кривая y = f(x) имеет наклонную А. y = kx + b в том и только в том случае, если существуют конечные пределы (надо отдельно рассматривать случаи x → +∞ и x → -∞). Наклонная А. - правая, если график приближается к ней при x → +∞, левая, если график приближается к ней при x → -∞ или двусторонняя, если график приближается к ней как при x → +∞, так и при x → -∞. Напомним, что А. кривой y = f(x) может пересекаться с этой кривой как в конечном, так и в бесконечном множестве точек (см. рис. 2).