[Править] Доказательство для r

Пусть f(x) — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте A), M = sup _Af. Возьмём последовательность чисел a_m таких, что lim a_m = M и a_m < M. Для каждого m найдётся точка x_m, такая что a_m < f(x_m). Имеем дело с компактом, поэтому, согласно теореме Больцано — Вейерштрасса из последовательности x_m можно выделить сходящуюся последовательность , предел которой лежит в A.

Для любого x_m справедливо , поэтому, применяя предельный переход, получаем и в силу непрерывности функции существует точка x₀ такая, что и, следовательно M = f(x₀).

Таким образом функция f(x) ограничена и достигает своей верхней грани при x = x₀. Аналогично и для нижней грани.