36. Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическое дифференцирование - в некоторых случаях целесообразнее

функцию сначала прологарифмировать, а результат продифференцировать.

Однако производные степенных функций находят только логарифмическим

дифференцированием.

Производная степенно-показательной функции равна сумме производно

показательной функции, при условии U=const, и производной степенной функции,

при условии V=const.

86

Производные и дифференциалы высших порядков.

 Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

  Если найти производную функции f(x), получим вторую производную функции f(x).

т.е. y = (y) или .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n.

.

Общие правила нахождения высших производных. 

 Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то

1)      (Сu)⁽ⁿ⁾ = Cu⁽ⁿ⁾;

2)      (u  v)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾  v⁽ⁿ⁾;

3)

.

 Это выражение называется формулой Лейбница.

Также по формуле dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ может быть найден дифференциал n- го порядка.

87

Производная степенной функции.

Найдем производные от некоторых простейших функций.

Пусть . Имеем

,

т. е. производная есть постоянная величина, равная 1. Это очевидно, ибо - линейная функция и скорость ее изменения постоянна.

Если , то

.

Пусть , тогда

.

Легко заметить закономерность в выражениях производных от степенной функции при . Докажем, что и вообще производная от при любом целом положительном показателе равна .

Имеем

.

Выражение, стоящее в числителе, преобразуем по формуле бинома Ньютона:

.

Значит,

.

В правой части последнего равенства стоит сумма слагаемых, первое из которых не зависит от , а остальные стремятся к нулю вместе с . Поэтому

.

Итак, степенная функция при целом положительном имеет производную, равную :

.

При из найденной общей формулы следуют формулы, выведенные выше.

Этот результат верен для любого показателя , например:

.

Рассмотрим теперь отдельно производную от постоянной величины

.

Так как эта функция не изменяется с изменением независимой переменной, то . Следовательно,

,

т. е. производная постоянной равна нулю.

88