Бесконечно большие функции

  Функция f (x) называется бесконечно большой функцией в точке х = x₀ (или x → x₀), если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < | x – х₀ | < δ , выполняется неравенство | f (x) | > К.   В этом случае пишут

и говорят, что функция стремится к бесконечности при х → х₀ , или что она имеет бесконечный предел в точке х = х₀. Если же в определении выполняется неравенство f (x) > K (f (x) < – K) , то пишут

или

и говорят, что функция имеет в точке х₀ бесконечный предел, равный + ∞ (– ∞).   По аналогии с конечными односторонними пределами определяются и бесконечные односторонние пределы:

, , , .

Так, например, пишут если для любого как угодно большого положительного числа K > 0 существует δ = δ(K) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих условию х₀ < x < х₀ + δ , выполняется неравенство f (x) > К. Или в символической записи

( K > 0) ( δ = δ(K)> 0)( x₀ < х < x₀+δ ) : f (x) > K.

  Предлагается самостоятельно сформулировать определение бесконечно большой функции при x → + ∞, x → – ∞.