§ 3. Основные свойства определителей 3-го порядка.

Нетрудно убедиться, что все свойства определителей 2-го порядка справедливы и для определителей 3-го порядка. Но как более сложный объект, определители 3-го порядка имеют и дополнительные свойства. Сформулируем и докажем все свойства полностью.

1.Определитель не изменяется, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами, т.е.

(1)

Доказывается разложением каждого определителя по элементам первой строки. В результате получаем одно и то же выражение.

2.Определитель равен сумме попарных произведений элентов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Д

(2)

Имеем

.

Но

Следовательно, .

Это свойство называют свойством разложения по элементам строки или столбца.

3.При перестановке двух строк определитель меняет знак на противоположный.

Доказательство. Пусть в матрице третьего порядка перестановлены первая и третья строки. Покажем, что

(3)

Разлагая определитель, стоящий в левой части равенства (3), по элементам первой строки, получим

Разлагая же определитель, стоящий в правой части этого равенства, по элементам третьей строки, получим

т.е. то же выражение, но с противоположным знаком.

4.Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), равен нулю.

Доказательство. Пусть - определитель матрицы с двумя одинаковыми строками. Если эти строки переставить местами, то определитель должен поменять знак. Но так как строки одинаковы, то определитель не изменится. Т.е. имеем , откуда или

5.Если все элементы какой-либо строки определителя умножить на число К, то весь определитель умножится на это число.

Доказательство. Покажем, например, что

.

Разложим по элементам второй строки. Тогда левая часть равенства может быть записана так:

где - определитель матрицы .

Это свойство иногда формулируют так: общий множитель всех элементов строки можно выносить за знак определителя.

6.Определитель, у которого соответствующие элементы двух строк пропорциональны, равен нулю.

Доказательство. Пусть, например, элементы третьей строки пропорциональны элементам первой, т.е.