Теорема Ролля

   Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда существует точка c  (a, b), в которой f ' (c) = 0.    Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a, b],то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m.    Возможны два случая: максимум и минимум достигаются на концах отрезка или что – либо (или максимум, или минимум) попадает вовнутрь интервала. В первом случае f (x) = const = M = m. Поэтому производная равна нулю f ' (c) = 0 в любой точке отрезка [a, b], и теорема доказана.    Во втором случае, так как f (x) дифференцируема в точке c, из теоремы Ферма следует, что f ' (c) = 0.