25. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами

Опр. Если для каждого значения а ∊ А решить уравнение F(x;a)=0 относительно x,то это уравнение наз. уравнение с переменной х и параметром а.(множество А-область значения параметра. Если про множество А ничего не сказано ⇨ а ∊ R ,и можно найти все значения a,при переходе через которой произошло качественное изменение - наз. контрольными. Каждое уравнение вида F(x;a)=0 можно рассматривать как уравнение с параметром. Решить уравнение с параметром означает, для каждого допустимого значения параметра найти множество решений уравнения ,или доказать что решений нет.

Линейное уравнение в зависимости от значения параметра а могут иметь: 1) единственное решение 2) бесконечно много решений 3) не иметь решений.

Для того, чтобы решить уравнение с параметром необходимо:

1)определить тип уравнения.

2)привести уравнение к стандартному виду.

3)исследовать решение уравнения, согласно с теорией решения уравнения определенного вида.

Основными методами решения с параметрами является: аналитический , графический (функциональный) и комбинированный.

Уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где х — неизвестное, а, b ,с — выражения, которые зависят лишь от параметров и а ≠ 0, называется квадратным уравнением с параметрами.

Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых а, b и с — действительные числа. В связи с необходимостью выполнения условия а ≠ 0 в квадратных уравнениях приходится разбивать решение на несколько этапов уже на первом шаге.

Пример 1. Решить уравнение (а+1)х²+2ах+а-2=0.

Решение

Поскольку коэффициент при х²(а + 1) может быть как числом, которое не равняется нулю, так и числом, которое равняется нулю, то уже из первого шага нам придется рассмотреть два случая:

а+ 1=0 и а+ 1 ≠ 0.

Если а+ 1=0 (а = –1), то заданное уравнение превращается в уравнение -2х - 3 = 0, которое имеет единый корень х= -3/2.

Если а + 1≠0 (а ≠ –1), то получаем квадратное уравнение, дискриминант которого D=4(a+2) .

Дальше мы не можем однозначно продолжать решения, так как оно существенным образом зависит от знака дискриминанта. Поэтому приходится рассматривать три случая: D < 0, D = 0, D > 0. Как известно, при D < 0 (а < – 2) квадратное уравнение корней не имеет; при D = 0 (а = – 2) оно имеет два равных корня: x₁=x₂=-2 ; при D > 0 (а > – 2, но а ≠ – 1) квадратное уравнение имеет два разных корня, которые записываются за общими формулами.

Подадим все эти соображения в виде схемы 1.

Схема 1

Ответ. 1) при а = – 1 ;

2) при а = – 2 х= – 2;

3) при а < -2 корней нет;

4) при – 2 < а<– 1 или при а > – 1 , .