1. Оценка генеральной доли и генеральной средней по собственно-случайной выборке. Несмещенность и состоятельность оценок

Пусть генеральная совокупность содержит N элементов, из которых M элементов обладает некоторым признаком А. Необходимо найти оценку генеральной доли . В качестве такой возможной оценки параметра р рассмотрим его статистический аналог – выборочную долю .

Теорема 1. Выборочная доля повторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли , причем ее дисперсия , где q=1-p.

Доказательство. Математическое ожидание и дисперсия частости события в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p , равны соответственно M(w)=p, D(w)=_w²=pq/n . Из первого равенства следует, что выборочная доля w есть несмещенная оценка генеральной доли р; из второго равенства получаем ее дисперсию.

Состоятельность оценки следует непосредственно из теоремы Бернулли , или .

Теорема 2. Выборочная доля бесповторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной доли , причем ее дисперсия , где q=1-p.