Правила отыскания производных показательных и логарифмических функций.
Формула производной показательной функции:
.
Чтобы оценить, чему равен , посмотрим, какой смысл имеет выражение , стоящее под знаком этого предела.
Для этого отложим приращение от нуля. Разность окажется приращением функции в точке 0. Следовательно, отношение окажется тангенсом угла наклона секущей, проходящей через точку графика с абсциссой 0. Но это значит, что - это тангенс угла наклона касательной, проходящей через точку графика с абсциссой 0. Мы доказали, что - это производная функции в точке 0:
,
где k - производная функции в точке нуль. Отсюда сразу получается формула для .
Ведь число е - основание логарифмической функции, график которой пересекает ось абсцисс под углом 45°. Но тогда график обратной функции пересекает под углом 45° ось ординат, а следовательно, и ось абсцисс. То есть производная функции в нуле равна 1.
Отсюда .
По формуле производной обратной функции получаем производную натурального логарифма:
.
Теперь получаем производную логарифма с произвольным основанием: .
И, наконец, получаем производную показательной функции с произвольным основанием:
.
89
Производные тригонометрических функций
Производные шести тригонометрических функций и, соответственно, шести обратных тригонометрических функций определяются следующими формулами (рядом указана область определения каждой функции):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В приведенных ниже примерах мы предполагаем, что читатель (или если кто предпочитает - "пользователь") знаком с основными тригонометрическими формулами.
90
- § 3. Основные свойства определителей 3-го порядка.
- Тогда, используя свойство 5, а затем 4, будем иметь
- Свойства обратной матрицы
- Матричный метод решения систем линейных уравнений
- Алгоритм
- [Править] Пример
- Компланарные векторы
- Бесконечно малая величина
- [Править] Бесконечно большая величина
- Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах
- Бесконечно малые функции
- Свойства бесконечно малых функций
- Бесконечно большие функции
- Свойства бесконечно больших функций в точке
- Пределы функции на бесконечности
- Определения Править
- Окрестностное определение Править
- Определения Править
- Определения
- [Править] Односторонний предел по Гейне
- [Править] Односторонний предел по Коши
- [Править] Односторонний предел как предел вдоль фильтра
- [Править] Обозначения
- Построение асимптот при анализе функций
- Примеры:
- Точки разрыва
- Непрерывность функции в точке
- Свойства непрерывных функций
- Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции
- Теоремы о непрерывных функциях
- Непрерывность обратной функции
- Непрерывность функций
- [Править] Доказательство
- Формулировка
- [Править] Доказательство для r
- [Править] Замечания
- Второй замечательный предел
- Натуральные логарифмы
- Свойства Править
- Дифференцирование сложной функции
- [Править] Примеры
- [Править] Свойства
- [Править] Разложение в степенной ряд
- Теорема об обратной функции.
- Теорема (о дифференцировании обратной функции)
- Примеры
- Дифференцирование функций заданных параметрически
- 36. Логарифмическое дифференцирование.
- Правила отыскания производных показательных и логарифмических функций.
- Производные обратных тригонометрических функций
- Теорема Ролля
- Геометрический смысл теоремы Ролля
- Теорема Лагранжа
- Геометрический смысл теоремы Лагранжа
- Теорема Коши