§ 36. Применение способа вращения без указания на чертеже осей

ВРАЩЕНИЯ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ К ПЛОСКОСТИ , ИЛИ ,

Раньше (см. § 35) мы видели, что если вращать отрезок прямой линии или

плоскую фигуру вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, то

проекция на эту плоскость не изменяется ни по виду, ни по величине --

меняется лишь положение этой проекции относительно оси проекций. Что же

касается другой проекции -- на плоскости, параллельной оси вращения, то все

точки этой проекции (за исключением, конечно, проекций точек, расположенных

на оси вращения) перемещаются по прямым, параллельным оси проекций, и

проекция вообще изменяется по форме и по величине. Пользуясь этими

свойствами, можно применить способ вращения, не задаваясь изображением оси

вращения и не устанавливая величины радиуса вращения; достаточно лишь, не

изменяя вида и величины одной из проекций рассматриваемой фигуры,

переместить эту проекцию в требуемое положение, а затем построить другую

проекцию так, как.указано выше.

Например, задавшись целью повернуть отрезок АВ прямой общего положения

(рис. 222) так, чтобы он оказался перпендикулярным к пл. , начинаем с

поворота вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 до положения, параллельного

пл. 2, но эту ось на чертеже не указываем. Так как при таком повороте

горизонтальная проекция отрезка не изменяет своей величины, то проекцию

А' В' берем равной А'В' и располагаем параллельно оси х, что соответствует

параллельности самого отрезка пл. 2.

Найдя соответствующую фронтальную проекцию отрезка ( А" В") выполняем

второй поворот, теперь вокруг оси, перпендикулярной к пл. 2, до искомого

положения -- перпендикулярности АВ к пл, . И эту ось на чертеже не

изображаем. Располагаем проекцию А"В", равную А"В", перпендикулярно к оси х.

Горизонтальная проекция отрезка выражается точкой с двойным обозначением --

А' В'.

Итак, выполненные операции соответствуют поворотам вокруг осей,

перпендикулярных к плоскостям проекций, но оси эти не указаны. Конечно, их

можно найти.

90

Например, если провести прямые -- одну через точки А' и А', другую

через В' и В', затем провести перпендикуляры в серединах отрезков А'А' и

В'В', то полученная точка пересечения этих перпендикуляров и будет

горизонтальной проекцией оси вращения, перпендикулярной к пл. ,. Но, как

видно, необходимости в этом нет.

На рис. 223 показаны две стадии поворота ABC, расположенного в

плоскости общего положения, с целью получения натурального вида этого

треугольника. Действительно, он в последнем своем положении параллелен пл.

1 и, следовательно, проекция представляет собой натуральный вид треугольника. Но чтобы получить

такое положение, надо предварительно повернуть плоскость общего

Рис. 222 Рис. 223

положения, в которой расположен треугольник, так, чтобы эта плоскость

оказалась перпендикулярной к пл. 2. А для этого надо взять горизонталь в

ABC и повернуть ее до перпендикулярности к пл. 2; тогда и треугольник,

содержащий эту горизонталь, окажется перпендикулярным к пл. 2. Так как

построение производится без указания осей вращения, то проекцию

'

'

^' располагаем произвольно, но так, чтобы горизонталь

оказалась перпендикулярной к пл..п2; для этого проекцию горизонтали

'

' направляем параллельно хотя бы линии связи А"А' (чертеж выполнен без

оси проекций). При этом повороте подразумевается ось вращения,

перпендикулярная к пл. ; поэтому горизонтальная проекция треугольника

сохраняет свой вид и величину (

'

'

'= А'В'С'), изменяется лишь ее положение. Так, точки А, В и С при таком

повороте перемещаются в плоскостях, параллельных пл. 1; проекции

",

" и

" находятся на горизонтальных линиях связи А"

", В"

" и С"

".

При втором повороте, приводящем треугольник в параллельное пл. 1

положение, подразумевается ось вращения, перпендикулярная к пл. 2. Теперь

фронтальная проекция при_повороте сохраняет вид и величину, полученные во

второй стадии поворота, точки

,

и

перемещаются в плоскостях, параллельных пл. 2, проекции

',

' и

'_находятся на горизонтальных линиях связи с точками

',

',

'.

Проекция

'

'

' передает натуральный вид и натуральную величину треугольника ABC.

При таком способе, во-первых, несколько упрощаются построения и,

во-вторых, не происходит наложения проекций одной на другую, однако чертеж

занимает большую площадь¹).

Еще один пример вращения без изображения осей дан на рис. 224 и 225. На

этих рисунках показаны последовательный поворот куба и выведение его в

положение, когда диагональ АВ расположится перпендикулярно к пл. 2.

') Для рассмотренного случая вращения, а именно без изображения осей

вращения, встречается название "способ плоскопараллельного перемещения".

91

Рис. 224 Рис. 225

Сначала вращением вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1,, куб

поставлен так, что диагональ AB оказалась в профильной плоскости (рис. 224).

Из этого положения куб переведен в третье, при котором диагональ АВ

оказывается перпендикулярной пл. 2 (рис. 225). Это достигнуто поворотом

куба вокруг оси, перпендикулярной к пл. з ¹)·