22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства

Функция на отрезке имеет обратную функцию, которая называется арксинусом

Арксинусом числа х, где называется такое число у, синус которого равен числу х. Обозначают: Таким образом, – это угол у, измеренный в радианах, такой, что Для любого имеем , .

2. Функция на отрезке имеет обратную функцию, которая называется арккосинусом.

Арккосинусом числа х, где называется такое число у, косинус которого равен числу х. Обозначают: Таким образом, – это угол у, измеренный в радианах, такой, что Для любого имеем , .

3. Функция на промежутке имеет обратную функцию, которая называется арктангенсом. Арктангенсом числа х, называется такое число у, тангенс которого равен числу х. Обозначают: Таким образом, – это угол у, измеренный в радианах, такой, что Для любого имеем , .

4. Функция на промежутке имеет обратную функцию, которая называется арккотангенсом. Арккотангенсом числа х, называется число у, котангенс которого равен числу х. Обозначается: Таким образом, – это угол у, измеренный в радианах, такой, что Для любого имеем , .

Функции , , , называют обратными тригонометрическими функциями или аркфункциями.

Некоторые важные тождества: ,

,

, , .

y = arccos x.

y = arcsin x.

y = arctg x.

2

y = arcctg x.

При решении уравнений и неравенств смешанного типа приходится применять свойства элементарных функций: область определения, область значений, монотонность, ограниченность, четность и нечетность, периодичность.

Ограниченность множества значений функции

Уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений f(x)=A; g(x)=A, если для всех x€X справедливы неравенства f(x)≤A и g(x)≥A.

Монотонность функции

1) Если функция f возрастает (убывает) на множестве X, то уравнение f(x)=A на множестве X имеет не более одного корня.

2) Если функция f возрастает (убывает), а функция g убывает (возрастает) на множестве X, то уравнение f(x)=g(x) на множестве X имеет не более одного корня.

3) Если f(x) - монотонно возрастающая функция, то уравнения f(x)=x и f(f(x))=x равносильны.

Периодичность функции

1) Сумма двух функций с соизмеримыми периодами T₁ и T₂ является функция с периодом НОД(T₁,T₂).

2) Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами является непериодической функцией.

3) Не существует периодических функций, не равных константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа.

Иногда полезно рассмотреть эскизы графиков функций и , входящих в уравнение . Этот метод, не являющийся строгим решением, может помочь установить: а) существуют ли у данного уравнения корни и сколько их; б) на какие множества следует разбить область определения уравнения, чтобы на каждом из этих множеств использовать свой способ решения.

Использование области опр.

В начале решения уравнения полезно найти область определения уравнения. Если она состоит из нескольких точек, то остается только проверить, какие из них удовлетворяют уравнению. Если область определения – пустое множество, то уравнение не имеет решений. Если же область определения более сложная или ее вычисление связано с трудностями, используется другой метод.