9.2. Потенциальные и вихревые поля

Написание формул векторного анализа зна­чительно упрощается и облегчается, если ввести векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) и но­сящий название оператора набла или оператора Гамильтона. Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами д/дх, д/ду и д/дz , который выражается в прямоугольной декартовой системе координат записью

.

Сам по себе этот вектор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он символически умножается. Так, если умножить вектор на скаляр, например, потенциал , то получится вектор

,

который представляет собой градиент потенциала 

Если вектор умножить скалярно на вектор а, получится скаляр

,

который есть не что иное, как дивергенция вектора а. Наконец, если умножить на а векторно, воспользовавшись записью векторного произведения с помощью определителя, получится вектор

.

Таким образом, существует два способа обозначений градиен­та, дивергенции и ротора:

, , .

Векторное произведение любого вектора на самого себя равно нулю. Этот вывод можно распространить и на «вектор»

.

Поэтому ротор градиента скалярной величины всегда равен нулю

.

Векторная величина М, не имеющая ротора, является градиентом некоторого скаляра, обычно называемого скалярным потенциалом поля вектора М. Отсутствие ро­тора показывает, что линии поля не образуют замкнутых кривых (вихрей). Каждая линия принципиально разом­кнута, начинаясь у некоторого «источника» и заканчиваясь у некоторого «стока». В точках расположения источников и стоков дивергенция вектора не равна нулю. Это — второе условие существования безвихревого (потенциального) поля.

Итак, потенциальное поле характеризуется: 1) отсутствием ротора; 2) наличием дивергенции, хотя бы в не­которых точках; 3) наличием скалярного потенциала:

; ; .

Примером безвихревого (потенциального) поля является электро­статическое поле, где источниками и стоками являются соответственно положительные и отрицательные заряды.

Дивергенция ротора любого вектора всегда равна нулю

.

Отсутствие дивергенции является первым необходимым условием существования вихревого (соленоидального) поля.

Действительно, при М 0 поле вектора М не имеет ни источников, ни стоков; линии поля нигде не начина­ются и не заканчиваются, т.е. представляют собой зам­кнутые кривые (вихри). Ротор вектора М не равен нулю, по крайней мере в ряде точек. Это — второе условие существования вихревого поля. Вектор М нельзя представить как градиент скаляра. Иначе говоря, вихревое векторное по­ле не имеет скалярного потенциала.

Итак, соленоидальное вихревое поле характеризуется: 1) отсутствием дивергенции; 2) наличием ротора, хотя бы в некоторых точках; 3) отсутствием скалярного по­тенциала:

; .

Примером вихревого поля является магнитное поле в толще проводника с током, материал которого имеет конечное значение удельной проводимости.

Вихревое поле может быть охарактеризовано функцией, называемой векторным потенциалом (не существовавшей в случае потенциального поля).

Векторная величина В, не имеющая дивергенции, всегда может рассматриваться как ротор другого вектора А.

Если , то можно положить .

Вектор А называется векторным потенциалом поля вектора В.

В физических задачах обычно рассматриваются векторные величины, нигде не обращающиеся в бесконечность. Таков, например, вектор магнитной индукции В, значения которого всегда конечны.

Поэтому векторный потенциал магнитного поля А является непрерывной функцией, плавно изменяющейся при переходе от одной точки к другой, соседней.